Dodawanie macierzy polega na sumowaniu elementów znajdujących się na tych samych pozycjach. Jeżeli dwie macierze mają identyczne wymiary, dodajemy element z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny pierwszej macierzy do elementu z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny drugiej macierzy, a następnie postępujemy tak samo z pozostałymi liczbami.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5&6\
7&8
\end{bmatrix}
]

ich suma wynosi:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
1+5&2+6\
3+7&4+8
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
6&8\
10&12
\end{bmatrix}.
]

Warunkiem wykonania działania jest zgodność wymiarów. Nie można w klasyczny sposób dodać macierzy (2\times2) do macierzy (2\times3), ponieważ nie wszystkim elementom jednej z nich odpowiadają elementy w drugiej. Wynik dodawania ma zawsze takie same wymiary jak składniki.

Na czym polega dodawanie macierzy?

Macierz jest prostokątną tablicą liczb uporządkowanych w wierszach i kolumnach. Jeżeli macierz ma (m) wierszy oraz (n) kolumn, określamy jej wymiar jako:

[
m\times n.
]

Dwie macierze można dodać, gdy mają:

• tę samą liczbę wierszy;
• tę samą liczbę kolumn;
• elementy należące do zbioru, w którym dodawanie jest określone, na przykład liczby rzeczywiste lub zespolone.

Nie jest natomiast wymagane, aby były kwadratowe. Można dodawać macierze (2\times3), (4\times1), (3\times5) oraz dowolne inne, pod warunkiem że oba składniki mają ten sam wymiar.

Jeżeli:

[
A=[a_{ij}]_{m\times n}
]

oraz:

[
B=[b_{ij}]_{m\times n},
]

to ich sumę definiujemy jako:

[
A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}.
]

Symbol (a_{ij}) oznacza element macierzy (A) znajdujący się w (i)-tym wierszu oraz (j)-tej kolumnie. Element wyniku położony w tym samym miejscu otrzymujemy według wzoru:

[
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
]

Dodawanie odbywa się więc element po elemencie, a nie przez mnożenie wierszy przez kolumny.

Jak dodawać macierze krok po kroku?

Procedura jest taka sama niezależnie od tego, czy macierz ma cztery, sześć czy kilkadziesiąt elementów.

Krok 1: sprawdź wymiary

Najpierw policz wiersze i kolumny obu macierzy.

Jeżeli:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n}
]

oraz:

[
B\in\mathbb{R}^{m\times n},
]

działanie (A+B) jest określone.

Jeżeli natomiast:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n},
\qquad
B\in\mathbb{R}^{p\times q}
]

i przynajmniej jeden z warunków (m=p) lub (n=q) nie jest spełniony, klasyczne dodawanie macierzy nie jest możliwe.

Krok 2: ustaw odpowiadające sobie elementy

Element w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie pierwszej macierzy trzeba dodać do elementu w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie drugiej macierzy.

Nie wolno zmieniać kolejności wierszy ani kolumn tylko dlatego, że ułatwiłoby to rachunki.

Krok 3: wykonaj zwykłe dodawanie liczb

Każdą parę odpowiadających sobie elementów dodajemy zgodnie z zasadami arytmetyki.

Należy szczególnie uważać na:

• liczby ujemne;
• ułamki;
• liczby zespolone;
• wyrażenia zawierające niewiadome;
• znaki zapisane przed nawiasami.

Krok 4: zapisz wynik w macierzy o tych samych wymiarach

Jeżeli składniki mają wymiar (3\times2), wynik również musi mieć trzy wiersze i dwie kolumny.

Krok 5: sprawdź wybrane elementy

W większym zadaniu warto ponownie obliczyć przynajmniej jeden element z każdego wiersza. Pozwala to wychwycić błędne przepisanie liczby lub dodanie elementów z różnych pozycji.

Dodawanie macierzy 2×2 – przykład

Rozważmy macierze:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&-2\
5&1
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
4&6\
-3&7
\end{bmatrix}.
]

Obie mają dwa wiersze i dwie kolumny, dlatego można je dodać.

Tworzymy macierz wynikową:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
3+4&-2+6\
5+(-3)&1+7
\end{bmatrix}.
]

Po wykonaniu działań otrzymujemy:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
7&4\
2&8
\end{bmatrix}.
]

W lewym dolnym polu trzeba było obliczyć:

[
5+(-3)=2.
]

Częstym błędem jest pominięcie nawiasu i potraktowanie tego działania jak (5-(-3)), co dałoby nieprawidłowy wynik.

Dodawanie macierzy prostokątnych

Macierze nie muszą być kwadratowe. Dodajmy dwie macierze o wymiarach (2\times3):

[
A=
\begin{bmatrix}
1&4&-2\
3&0&5
\end{bmatrix},
]

[
B=
\begin{bmatrix}
7&-1&6\
2&8&-5
\end{bmatrix}.
]

Dodajemy odpowiadające sobie elementy:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
1+7&4+(-1)&-2+6\
3+2&0+8&5+(-5)
\end{bmatrix}.
]

Wynik:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
8&3&4\
5&8&0
\end{bmatrix}.
]

Suma ma wymiar (2\times3), identyczny jak obie macierze początkowe.

Czy można dodać macierze o różnych wymiarach?

W klasycznej algebrze macierzy nie można dodawać macierzy o różnych wymiarach.

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5&6&7\
8&9&10
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A) ma wymiar (2\times2), natomiast (B) ma wymiar (2\times3). W pierwszych dwóch kolumnach można byłoby wskazać odpowiadające sobie elementy, ale trzecią kolumnę ma wyłącznie macierz (B).

Działanie:

[
A+B
]

nie jest więc określone. Zapisanie wyniku przez pominięcie dodatkowej kolumny albo dopisanie zer zmieniałoby dane wejściowe i nie byłoby zwykłym dodawaniem macierzy. Zgodność całego wymiaru, a nie tylko liczby wierszy lub kolumn, jest warunkiem wykonania działania.

Czy można najpierw uzupełnić mniejszą macierz zerami?

Można świadomie zbudować nową macierz przez dopisanie wiersza lub kolumny zer, ale nie jest to automatyczna część dodawania.

Przykładowo z macierzy (2\times2) można utworzyć macierz (2\times3):

[
\begin{bmatrix}
1&2&0\
3&4&0
\end{bmatrix}.
]

Dopiero tę nową macierz można dodać do innej macierzy (2\times3). Takie rozszerzenie musi jednak wynikać z sensu problemu. Dopisane zera mogą oznaczać brak wartości w nowej kategorii, ale w innym zastosowaniu mogą całkowicie zniekształcić dane.

Dodawanie więcej niż dwóch macierzy

Można dodawać dowolną liczbę macierzy, jeśli wszystkie mają te same wymiary.

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix},
]

[
B=
\begin{bmatrix}
2&0\
-1&5
\end{bmatrix},
]

[
C=
\begin{bmatrix}
4&-2\
6&1
\end{bmatrix}.
]

Wtedy:

[
A+B+C=
\begin{bmatrix}
1+2+4&2+0+(-2)\
3+(-1)+6&4+5+1
\end{bmatrix}.
]

Otrzymujemy:

[
A+B+C=
\begin{bmatrix}
7&0\
8&10
\end{bmatrix}.
]

Można najpierw obliczyć (A+B), a później dodać (C), albo rozpocząć od (B+C). Wynik będzie taki sam dzięki łączności dodawania.

Najważniejsze własności dodawania macierzy

Macierze o ustalonym wymiarze zachowują się przy dodawaniu podobnie jak liczby i wektory.

Przemienność

Dla macierzy (A) i (B) o tych samych wymiarach:

[
A+B=B+A.
]

Własność wynika z przemienności dodawania liczb:

[
a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}.
]

Kolejność składników nie zmienia wyniku.

Łączność

Dla macierzy (A), (B) i (C) o jednakowych wymiarach:

[
(A+B)+C=A+(B+C).
]

Można więc zmieniać sposób grupowania składników bez zmiany rezultatu.

Istnienie macierzy zerowej

Macierz zerowa zawiera same zera. Dla wymiaru (2\times2) ma postać:

[
0=
\begin{bmatrix}
0&0\
0&0
\end{bmatrix}.
]

Dla każdej macierzy (A) o tym samym wymiarze:

[
A+0=0+A=A.
]

Macierz zerowa pełni przy dodawaniu rolę podobną do liczby zero.

Istnienie macierzy przeciwnej

Macierz przeciwna do (A), oznaczana jako (-A), powstaje przez zmianę znaku każdego elementu.

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&-3\
4&1
\end{bmatrix},
]

to:

[
-A=
\begin{bmatrix}
-2&3\
-4&-1
\end{bmatrix}.
]

Zachodzi:

[
A+(-A)=0.
]

Prawo skracania

Jeżeli:

[
A+B=A+C,
]

to:

[
B=C.
]

Można odjąć macierz (A) od obu stron równania, podobnie jak w zwykłej algebrze.

Zgodność z transpozycją

Transpozycja zamienia wiersze macierzy na kolumny. Dla sumy zachodzi:

[
(A+B)^T=A^T+B^T.
]

Można więc najpierw dodać macierze i przetransponować wynik albo najpierw przetransponować składniki, a później je dodać.

Rozdzielność mnożenia przez skalar

Dla liczby (k):

[
k(A+B)=kA+kB.
]

Zachodzi również:

[
(k+l)A=kA+lA.
]

Własności przemienności, łączności, elementu zerowego i macierzy przeciwnej wynikają bezpośrednio z wykonywania działania na odpowiadających sobie elementach.

Dodawanie a odejmowanie macierzy

Odejmowanie wykonuje się na tych samych zasadach co dodawanie. Macierze muszą mieć identyczne wymiary, a działanie przeprowadza się element po elemencie.

Jeżeli:

[
A=[a_{ij}]
]

i:

[
B=[b_{ij}],
]

to:

[
A-B=[a_{ij}-b_{ij}].
]

Odejmowanie można również potraktować jako dodawanie macierzy przeciwnej:

[
A-B=A+(-B).
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
5&2\
1&7
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3&-4\
6&2
\end{bmatrix}.
]

Wtedy:

[
A-B=
\begin{bmatrix}
5-3&2-(-4)\
1-6&7-2
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2&6\
-5&5
\end{bmatrix}.
]

Trzeba uważać zwłaszcza na odejmowanie elementów ujemnych. Wyrażenie:

[
2-(-4)
]

jest równe 6, a nie (-2).

Dodawanie macierzy a mnożenie macierzy

Dodawanie i mnożenie macierzy mają zupełnie inne zasady.

Cecha	Dodawanie macierzy	Mnożenie macierzy
Warunek wymiarów	Obie macierze muszą mieć taki sam wymiar	Liczba kolumn pierwszej musi być równa liczbie wierszy drugiej
Sposób obliczania	Element do odpowiadającego elementu	Wiersz pierwszej macierzy razy kolumna drugiej
Wymiar wyniku	Taki sam jak składniki	Liczba wierszy pierwszej × liczba kolumn drugiej
Przemienność	(A+B=B+A)	Na ogół (AB\neq BA)
Element neutralny	Macierz zerowa	Macierz jednostkowa

Dla dodawania macierzy (2\times3) potrzebna jest druga macierz (2\times3). Przy mnożeniu macierzy (2\times3) przez inną macierz jej liczba wierszy musi wynosić 3, ale liczba kolumn może być inna.

Dodawanie macierzy zawierających niewiadome

Elementami macierzy nie muszą być wyłącznie konkretne liczby. Mogą nimi być również zmienne lub wyrażenia algebraiczne.

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
x&2y\
3&z
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
4&-y\
a&5
\end{bmatrix}.
]

Wtedy:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
x+4&2y-y\
3+a&z+5
\end{bmatrix}.
]

Po uproszczeniu:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
x+4&y\
a+3&z+5
\end{bmatrix}.
]

Podczas takich obliczeń należy łączyć wyłącznie wyrazy podobne. Nie można uprościć (x+4) do (5x), ponieważ (x) i liczba 4 nie są wyrazami podobnymi.

Jak rozwiązywać równania z dodawaniem macierzy?

Równość macierzy oznacza równość wszystkich odpowiadających sobie elementów. Pozwala to rozwiązywać równania macierzowe.

Rozważmy:

[
X+
\begin{bmatrix}
1&3\
-2&4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
5&7\
6&1
\end{bmatrix}.
]

Aby znaleźć (X), odejmujemy tę samą macierz od obu stron:

[
X=
\begin{bmatrix}
5&7\
6&1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1&3\
-2&4
\end{bmatrix}.
]

Zatem:

[
X=
\begin{bmatrix}
5-1&7-3\
6-(-2)&1-4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
4&4\
8&-3
\end{bmatrix}.
]

Sprawdzenie:

[
\begin{bmatrix}
4&4\
8&-3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1&3\
-2&4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
5&7\
6&1
\end{bmatrix}.
]

Dodawanie macierzy po pomnożeniu przez skalar

W zadaniach często występują wyrażenia takie jak:

[
2A+3B.
]

Najpierw mnożymy każdy element macierzy (A) przez 2, a każdy element (B) przez 3. Następnie dodajemy otrzymane macierze.

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&-2\
3&0
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
4&1\
-1&2
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy:

[
2A=
\begin{bmatrix}
2&-4\
6&0
\end{bmatrix},
]

[
3B=
\begin{bmatrix}
12&3\
-3&6
\end{bmatrix}.
]

Teraz dodajemy:

[
2A+3B=
\begin{bmatrix}
2+12&-4+3\
6+(-3)&0+6
\end{bmatrix}.
]

Wynik:

[
2A+3B=
\begin{bmatrix}
14&-1\
3&6
\end{bmatrix}.
]

Tego rodzaju wyrażenie jest przykładem kombinacji liniowej macierzy.

Co oznacza dodawanie macierzy w praktyce?

Macierz może przedstawiać uporządkowany zbiór danych. Dodawanie pozwala wtedy połączyć wartości odnoszące się do tych samych kategorii.

Łączenie danych sprzedażowych

Załóżmy, że wiersze oznaczają sklepy, a kolumny trzy produkty. Macierz (A) opisuje sprzedaż w styczniu, a (B) w lutym.

[
A=
\begin{bmatrix}
10&15&8\
12&9&11
\end{bmatrix},
]

[
B=
\begin{bmatrix}
7&13&10\
9&14&6
\end{bmatrix}.
]

Suma:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
17&28&18\
21&23&17
\end{bmatrix}
]

pokazuje łączną sprzedaż obu miesięcy.

Działanie ma sens tylko dlatego, że pozycje w obu macierzach oznaczają te same sklepy i produkty. Sama zgodność wymiarów nie wystarcza, jeśli znaczenie wierszy lub kolumn jest inne.

Sumowanie kosztów

Jedna macierz może opisywać koszty materiałów, a druga koszty pracy dla tych samych działów i okresów. Suma pokazuje łączne obciążenie.

Przetwarzanie obrazów

Cyfrowy obraz może być reprezentowany przez tablice wartości pikseli. Dodawanie tablic może służyć do łączenia określonych informacji lub nakładania składowych, choć w praktyce trzeba dodatkowo kontrolować zakres dopuszczalnych wartości.

Sumowanie przekształceń liniowych

Jeżeli macierze (A) i (B) opisują dwa przekształcenia liniowe o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie, ich suma opisuje przekształcenie:

[
(A+B)x=Ax+Bx.
]

Dla każdego wektora (x) najpierw można obliczyć oba wyniki oddzielnie, a następnie je zsumować.

Dodawanie macierzy w Pythonie

Do obliczeń numerycznych często wykorzystuje się bibliotekę NumPy. Dwie tablice o tych samych wymiarach można dodać operatorem +:

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

B = np.array([
    [5, 6],
    [7, 8]
])

C = A + B
print(C)

Wynik:

[[ 6  8]
 [10 12]]

NumPy wykonuje to działanie element po elemencie. Trzeba jednak pamiętać o mechanizmie nazywanym broadcastingiem. W określonych sytuacjach biblioteka potrafi wykonywać operacje również na tablicach o różnych, lecz kompatybilnych kształtach, rozszerzając mniejszą tablicę w sposób umowny. Nie jest to to samo co klasyczne dodawanie dwóch macierzy o różnych wymiarach.

Przykład:

A = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])

v = np.array([10, 20, 30])

print(A + v)

NumPy doda wektor do każdego wiersza:

[[11 22 33]
 [14 25 36]]

Z punktu widzenia programu jest to poprawna operacja dzięki broadcastingowi. W klasycznym zadaniu z algebry liniowej nie należy jednak twierdzić, że macierz (2\times3) została bezpośrednio dodana do macierzy (1\times3). Program zastosował dodatkową regułę zgodności kształtów. Oficjalna dokumentacja NumPy wskazuje, że przy niezgodnych kształtach pojawia się błąd, natomiast zgodne wymiary mogą zostać automatycznie rozszerzone.

Najczęstsze błędy przy dodawaniu macierzy

Dodawanie macierzy o różnych wymiarach

Zgodna liczba wierszy nie wystarcza. Zgadzać musi się również liczba kolumn.

Nie można dodać macierzy (2\times2) do macierzy (2\times3).

Dodawanie wiersza do kolumny

Elementy łączy się według ich położenia. Pierwszego wiersza jednej macierzy nie dodaje się do pierwszej kolumny drugiej.

Stosowanie zasad mnożenia macierzy

Przy dodawaniu nie oblicza się iloczynów wierszy i kolumn. Każdy element ma tylko jednego odpowiadającego mu składnika.

Zmiana wymiaru wyniku

Suma macierzy (3\times4) również musi być macierzą (3\times4). Nie może mieć wymiaru (4\times3) ani (3\times3).

Gubienie znaków liczb ujemnych

Działanie:

[
-3+(-5)
]

daje (-8), natomiast:

[
-3+5
]

daje 2.

Przestawianie elementów

Wyniku nie należy porządkować rosnąco ani przenosić liczb między polami. Pozycja każdego elementu ma znaczenie.

Pomijanie zgodności znaczenia danych

Dwie macierze mogą mieć identyczne wymiary, ale reprezentować inne kategorie. Dodawanie liczby klientów do kwoty wydatków nie daje sensownego wyniku, nawet jeśli tablice są tego samego rozmiaru.

Mylenie dodawania z dopisywaniem wierszy

Połączenie dwóch tablic przez ustawienie jednej pod drugą nie jest dodawaniem macierzy. Jest to konkatenacja albo budowa większej macierzy.

Jak szybko sprawdzić wynik?

Warto wykorzystać kilka prostych kontroli.

Sprawdź wymiar

Wynik musi mieć taki sam wymiar jak oba składniki.

Sprawdź elementy skrajne

Ponownie oblicz:

• lewy górny element;
• prawy górny element;
• lewy dolny element;
• prawy dolny element.

Pozwala to wykryć przesunięcie kolumn lub wierszy.

Zastosuj odejmowanie

Jeżeli:

[
C=A+B,
]

to powinno zachodzić:

[
C-A=B
]

oraz:

[
C-B=A.
]

Oszacuj znaki

Jeżeli dwa odpowiadające sobie elementy są dodatnie, wynik w tym miejscu również powinien być dodatni. Gdy oba są ujemne, suma musi być ujemna.

Krótkie zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Oblicz:

[
\begin{bmatrix}
2&5\
-1&3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4&-2\
6&1
\end{bmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
\begin{bmatrix}
2+4&5+(-2)\
-1+6&3+1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
6&3\
5&4
\end{bmatrix}.
]

Zadanie 2

Oblicz:

[
\begin{bmatrix}
1&0&-3\
2&4&5
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
7&6&3\
-2&1&-5
\end{bmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
\begin{bmatrix}
8&6&0\
0&5&0
\end{bmatrix}.
]

Zadanie 3

Czy można wykonać działanie:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
4\
5\
6
\end{bmatrix}?
]

Nie. Pierwsza macierz ma wymiar (1\times3), a druga (3\times1). Mimo że obie zawierają trzy elementy, ich układ jest inny.

Zadanie 4

Wyznacz (X), jeśli:

[
X+
\begin{bmatrix}
2&-1\
3&5
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
7&4\
1&9
\end{bmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
X=
\begin{bmatrix}
7&4\
1&9
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2&-1\
3&5
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
5&5\
-2&4
\end{bmatrix}.
]

Zadanie 5

Oblicz:

[
2
\begin{bmatrix}
1&3\
-2&4
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
5&-1\
3&2
\end{bmatrix}.
]

Najpierw:

[
2
\begin{bmatrix}
1&3\
-2&4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2&6\
-4&8
\end{bmatrix}.
]

Następnie:

[
\begin{bmatrix}
2&6\
-4&8
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
5&-1\
3&2
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
7&5\
-1&10
\end{bmatrix}.
]

Dodawanie macierzy – najważniejsze informacje

Dodawanie macierzy polega na sumowaniu elementów znajdujących się na tych samych pozycjach. Działanie jest możliwe tylko wtedy, gdy macierze mają identyczną liczbę wierszy i kolumn. Wynik zachowuje ich wymiar.

Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne, a jego elementem neutralnym jest macierz zerowa. Macierz przeciwna pozwala zapisać odejmowanie jako dodawanie: (A-B=A+(-B)). Najważniejsze jest pilnowanie wymiarów, kolejności elementów oraz znaków liczb ujemnych.

FAQ

Jak dodawać macierze?

Najpierw należy sprawdzić, czy obie macierze mają taką samą liczbę wierszy i kolumn. Następnie dodaje się elementy znajdujące się na odpowiadających sobie pozycjach. Element (a_{ij}) pierwszej macierzy łączy się z elementem (b_{ij}) drugiej, a wynik wpisuje się w to samo miejsce macierzy sumy.

Kiedy można dodawać dwie macierze?

Dwie macierze można dodać wyłącznie wtedy, gdy mają identyczne wymiary. Macierz (2\times3) można dodać do innej macierzy (2\times3), ale nie do macierzy (3\times2) ani (2\times2). Sama liczba wszystkich elementów nie wystarcza — musi zgadzać się ich układ w wierszach i kolumnach.

Czy można dodawać macierze prostokątne?

Tak. Macierze nie muszą być kwadratowe. Można dodawać macierze (2\times3), (4\times2), (1\times5) i dowolnych innych wymiarów, jeśli oba składniki mają dokładnie taki sam rozmiar. Suma macierzy prostokątnych zachowuje liczbę wierszy oraz kolumn występującą w składnikach.

Czy dodawanie macierzy jest przemienne?

Tak. Dla macierzy o tych samych wymiarach zachodzi (A+B=B+A). Każdy element wyniku powstaje przez zwykłe dodanie dwóch liczb, a dodawanie liczb jest przemienne. Własności tej nie należy przenosić automatycznie na mnożenie macierzy, ponieważ na ogół (AB\neq BA).

Jaki wymiar ma suma macierzy?

Suma ma dokładnie taki sam wymiar jak dodawane macierze. Jeżeli (A) i (B) są macierzami (3\times4), to (A+B) również ma trzy wiersze oraz cztery kolumny. Dodawanie nie zmienia układu tablicy, lecz wyłącznie wartości jej elementów.

Czy można dodać macierz 2×3 do macierzy 3×2?

Nie. Pierwsza macierz ma dwa wiersze i trzy kolumny, a druga trzy wiersze i dwie kolumny. Mimo że obie zawierają po sześć elementów, liczby leżą w innych układach i nie mają odpowiadających sobie pozycji. Transpozycja jednej macierzy może wyrównać wymiary, ale tworzy nowe zadanie.

Czym dodawanie macierzy różni się od mnożenia?

Przy dodawaniu sumuje się odpowiadające sobie elementy, a oba składniki muszą mieć identyczne wymiary. Przy mnożeniu oblicza się iloczyny wierszy pierwszej macierzy i kolumn drugiej. Warunkiem jest zgodność wymiarów wewnętrznych, a wynik nie musi mieć rozmiaru żadnego ze składników.