Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy znajdujące się poza główną przekątną są równe zero. Liczby leżące na przekątnej mogą być dowolne, również równe zero. Przykładem jest macierz:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -3 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

Jej szczególna budowa znacząco upraszcza obliczanie wyznacznika, macierzy odwrotnej, potęg i wartości własnych. Macierze diagonalne mają duże znaczenie w algebrze liniowej, ponieważ wiele skomplikowanych przekształceń można łatwiej analizować po sprowadzeniu ich macierzy do postaci diagonalnej.

Co to jest macierz diagonalna?

Macierz (D=[d_{ij}]) stopnia (n) jest diagonalna, jeżeli:

[
d_{ij}=0 \quad \text{dla każdego } i\neq j
]

Warunek ten oznacza, że niezerowe elementy mogą występować wyłącznie na głównej przekątnej, czyli w pozycjach:

[
d_{11},d_{22},d_{33},\ldots,d_{nn}
]

Ogólną macierz diagonalną zapisuje się w postaci:

[
D=
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\
0 & d_2 & \cdots & 0\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
0 & 0 & \cdots & d_n
\end{bmatrix}
]

lub krócej:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

W podstawowym ujęciu algebraicznym macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Można spotkać również rozszerzone pojęcie prostokątnej macierzy diagonalnej, jednak w typowych zadaniach szkolnych i akademickich termin odnosi się do macierzy (n\times n).

Gdzie znajduje się główna przekątna?

Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu macierzy.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
]

na głównej przekątnej znajdują się elementy:

[
a_{11},a_{22},a_{33}
]

Pozostałe elementy leżą poza przekątną. Aby macierz była diagonalna, wszystkie muszą być równe zero.

Jak rozpoznać macierz diagonalną?

Sprawdzenie macierzy można przeprowadzić w trzech krokach:

1. Ustal, czy macierz jest kwadratowa.
2. Zaznacz główną przekątną.
3. Sprawdź wszystkie elementy poza przekątną.

Jeżeli choć jeden element znajdujący się poza przekątną jest różny od zera, macierz nie jest diagonalna.

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
4 & 0\
0 & 7
\end{bmatrix}
]

Macierz (A) jest diagonalna, ponieważ oba elementy poza przekątną są równe zero.

Macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
4 & 1\
0 & 7
\end{bmatrix}
]

nie jest diagonalna, ponieważ element (b_{12}=1) znajduje się poza główną przekątną.

Czy na przekątnej mogą znajdować się zera?

Tak. Definicja wymaga jedynie, aby elementy poza główną przekątną były równe zero. Przykładowa macierz:

[
C=
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}
]

jest diagonalna.

Obecność zera na przekątnej ma jednak znaczenie dla dalszych działań. Taka macierz ma wyznacznik równy zero, a więc nie posiada macierzy odwrotnej.

Czy macierz zerowa jest diagonalna?

Tak. Macierz zerowa:

[
O=
\begin{bmatrix}
0 & 0\
0 & 0
\end{bmatrix}
]

spełnia definicję macierzy diagonalnej, ponieważ wszystkie jej elementy poza przekątną są zerowe. Zera na samej przekątnej również są dozwolone.

Przykłady macierzy diagonalnych

Macierz diagonalna stopnia 2

[
D=
\begin{bmatrix}
5 & 0\
0 & -1
\end{bmatrix}
]

Jej elementy diagonalne to (5) i (-1).

Macierz diagonalna stopnia 3

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & 6 & 0\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
]

Można ją zapisać krócej jako:

[
D=\operatorname{diag}(2,6,9)
]

Macierz diagonalna z zerem na przekątnej

[
D=
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix}
]

Macierz nadal jest diagonalna, ale nieodwracalna.

Macierz, która nie jest diagonalna

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 3 & 2\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

Element (2) znajduje się poza główną przekątną. Macierz jest górnotrójkątna, ale nie diagonalna.

Macierz diagonalna a macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej. Wszystkie elementy na jej głównej przekątnej są równe (1), a pozostałe elementy – (0).

Dla stopnia trzeciego:

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy rolę podobną do liczby (1) w zwykłym mnożeniu:

[
AI=IA=A
]

Każda macierz jednostkowa jest diagonalna, ale nie każda macierz diagonalna jest jednostkowa.

Macierz diagonalna a macierz skalarna

Macierz skalarna jest macierzą diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe tej samej liczbie.

Ma postać:

[
S=
\begin{bmatrix}
c & 0 & \cdots & 0\
0 & c & \cdots & 0\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
0 & 0 & \cdots & c
\end{bmatrix}
=cI
]

Przykład:

[
S=
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0\
0 & 4 & 0\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
=4I_3
]

Każda macierz skalarna jest diagonalna. Macierz jednostkowa jest natomiast macierzą skalarną, dla której (c=1).

Zależność można przedstawić następująco:

• macierze diagonalne stanowią najszerszą grupę;
• macierze skalarne są szczególnymi macierzami diagonalnymi;
• macierz jednostkowa jest szczególną macierzą skalarną.

Macierz diagonalna a macierz trójkątna

Macierz górnotrójkątna ma wszystkie elementy pod główną przekątną równe zero. Macierz dolnotrójkątna ma natomiast zera nad główną przekątną.

W macierzy diagonalnej zera znajdują się zarówno nad, jak i pod przekątną. Oznacza to, że każda macierz diagonalna jest jednocześnie:

• macierzą górnotrójkątną;
• macierzą dolnotrójkątną.

Nie każda macierz trójkątna jest jednak diagonalna. Macierz górnotrójkątna może zawierać niezerowe elementy nad przekątną, a dolnotrójkątna – pod nią.

Dodawanie macierzy diagonalnych

Macierze można dodawać tylko wtedy, gdy mają takie same wymiary. Przy dodawaniu dwóch macierzy diagonalnych sumuje się odpowiadające sobie elementy na głównej przekątnej.

Jeżeli:

[
A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\ldots,a_n)
]

oraz:

[
B=\operatorname{diag}(b_1,b_2,\ldots,b_n)
]

to:

[
A+B=\operatorname{diag}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3 & 0\
0 & -1
\end{bmatrix}
]

[
A+B=
\begin{bmatrix}
5 & 0\
0 & 4
\end{bmatrix}
]

Suma macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest również macierzą diagonalną.

Analogicznie:

[
A-B=\operatorname{diag}(a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n)
]

Mnożenie macierzy diagonalnych

Iloczyn dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia otrzymuje się przez pomnożenie odpowiadających sobie elementów głównej przekątnej:

[
AB=\operatorname{diag}(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_nb_n)
]

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3 & 0\
0 & 4
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
6 & 0\
0 & 20
\end{bmatrix}
]

Iloczyn macierzy diagonalnych jest diagonalny.

Czy macierze diagonalne można mnożyć przemiennie?

Tak, jeśli są tego samego stopnia:

[
AB=BA
]

Wynika to z faktu, że odpowiadające sobie elementy diagonalne są zwykłymi liczbami, a mnożenie liczb jest przemienne:

[
a_ib_i=b_ia_i
]

Jest to szczególna własność, ponieważ mnożenie dowolnych macierzy nie jest na ogół przemienne.

Mnożenie dowolnej macierzy przez macierz diagonalną

Mnożenie przez macierz diagonalną ma bardzo przejrzystą interpretację.

Niech:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

Jeżeli macierz (A) mnożymy przez (D) z prawej strony:

[
AD
]

to (j)-ta kolumna macierzy (A) zostaje pomnożona przez (d_j).

Jeżeli mnożymy z lewej strony:

[
DA
]

to (i)-ty wiersz macierzy (A) zostaje pomnożony przez (d_i).

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix}
]

Mnożenie z prawej strony daje:

[
AD=
\begin{bmatrix}
2 & 10\
6 & 20
\end{bmatrix}
]

Pierwsza kolumna została pomnożona przez (2), a druga przez (5).

Mnożenie z lewej strony daje:

[
DA=
\begin{bmatrix}
2 & 4\
15 & 20
\end{bmatrix}
]

Pierwszy wiersz został pomnożony przez (2), a drugi przez (5).

Potęgowanie macierzy diagonalnej

Potęgowanie macierzy diagonalnej sprowadza się do podniesienia każdego elementu głównej przekątnej do odpowiedniej potęgi.

Jeżeli:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

to dla dodatniej liczby całkowitej (k):

[
D^k=\operatorname{diag}(d_1^k,d_2^k,\ldots,d_n^k)
]

Przykład:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 3
\end{bmatrix}
]

[
D^4=
\begin{bmatrix}
2^4 & 0\
0 & 3^4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
16 & 0\
0 & 81
\end{bmatrix}
]

Nie trzeba wykonywać kolejnych pełnych mnożeń macierzy. Ta własność jest jedną z głównych przyczyn, dla których dąży się do diagonalizowania bardziej złożonych macierzy.

Potęga zerowa

Dla każdej macierzy kwadratowej przyjmuje się:

[
D^0=I
]

o ile rozpatruje się standardowe potęgowanie macierzy.

Potęgi ujemne

Ujemne potęgi można wyznaczać tylko wtedy, gdy macierz diagonalna jest odwracalna, czyli żaden element na jej przekątnej nie jest zerem.

Wówczas:

[
D^{-k}=\operatorname{diag}(d_1^{-k},d_2^{-k},\ldots,d_n^{-k})
]

Wyznacznik macierzy diagonalnej

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wszystkich elementów znajdujących się na głównej przekątnej:

[
\det(D)=d_1d_2\cdots d_n
]

Dla macierzy:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -3 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
\det(D)=2\cdot(-3)\cdot5=-30
]

Jeżeli choć jeden element diagonalny jest równy zero, cały iloczyn również wynosi zero:

[
\det(D)=0
]

Macierz jest wtedy osobliwa, czyli nie posiada macierzy odwrotnej.

Macierz odwrotna do macierzy diagonalnej

Macierz diagonalna jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element głównej przekątnej jest różny od zera.

Jeżeli:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

oraz:

[
d_i\neq0
]

dla każdego (i), to:

[
D^{-1}=
\operatorname{diag}
\left(
\frac{1}{d_1},
\frac{1}{d_2},
\ldots,
\frac{1}{d_n}
\right)
]

Przykład:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -4 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

[
D^{-1}=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 & 0\
0 & -\frac{1}{4} & 0\
0 & 0 & \frac{1}{5}
\end{bmatrix}
]

Sprawdzenie:

[
DD^{-1}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
=I
]

Odwracanie macierzy diagonalnej nie wymaga stosowania metody eliminacji Gaussa ani obliczania macierzy dołączonej. Wystarczy zastąpić każdy niezerowy element diagonalny jego odwrotnością.

Ślad macierzy diagonalnej

Ślad macierzy kwadratowej jest sumą elementów znajdujących się na jej głównej przekątnej:

[
\operatorname{tr}(D)=d_1+d_2+\ldots+d_n
]

Dla macierzy:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -3 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

ślad wynosi:

[
\operatorname{tr}(D)=2-3+5=4
]

Obliczenie śladu jest więc równie proste jak obliczenie sumy zwykłych liczb.

Rząd macierzy diagonalnej

Rząd macierzy diagonalnej jest równy liczbie niezerowych elementów znajdujących się na głównej przekątnej.

Przykładowo:

[
D=
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2 & 0\
0 & 0 & 0 & 7
\end{bmatrix}
]

ma trzy niezerowe elementy diagonalne, dlatego:

[
\operatorname{rank}(D)=3
]

Macierz diagonalna stopnia (n) ma pełny rząd (n) dokładnie wtedy, gdy wszystkie elementy na przekątnej są różne od zera. Jest to zarazem warunek jej odwracalności.

Wartości i wektory własne macierzy diagonalnej

Wartościami własnymi macierzy diagonalnej są elementy znajdujące się na jej głównej przekątnej.

Jeżeli:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

to wartości własne wynoszą:

[
\lambda_1=d_1,\quad
\lambda_2=d_2,\quad
\ldots,\quad
\lambda_n=d_n
]

Standardowe wektory bazowe:

[
e_1=
\begin{bmatrix}
1\
0\
\vdots\
0
\end{bmatrix},
\quad
e_2=
\begin{bmatrix}
0\
1\
\vdots\
0
\end{bmatrix},
\quad \ldots
]

są odpowiadającymi im wektorami własnymi, ponieważ:

[
De_i=d_ie_i
]

To właśnie ta własność sprawia, że reprezentowanie przekształcenia w bazie złożonej z wektorów własnych jest tak wygodne. Macierz przekształcenia przyjmuje wtedy postać diagonalną, a jej elementy diagonalne są wartościami własnymi.

Transpozycja macierzy diagonalnej

Macierz diagonalna jest równa swojej transpozycji:

[
D^T=D
]

Podczas transponowania wiersze zamieniają się z kolumnami. Elementy na głównej przekątnej pozostają jednak na swoich miejscach, a wszystkie pozostałe nadal są zerami.

Każda rzeczywista macierz diagonalna jest zatem macierzą symetryczną.

Nie każda macierz symetryczna jest natomiast diagonalna. Może zawierać takie same, ale niezerowe elementy po przeciwnych stronach przekątnej.

Macierz diagonalna a macierz diagonalizowalna

Pojęcia „diagonalna” i „diagonalizowalna” nie oznaczają tego samego.

Macierz diagonalna już ma zera poza główną przekątną.

Macierz diagonalizowalna może początkowo nie być diagonalna, ale istnieje odwracalna macierz (P), dla której:

[
P^{-1}AP=D
]

gdzie (D) jest macierzą diagonalną.

Równoważnie:

[
A=PDP^{-1}
]

Macierz jest diagonalizowalna wtedy, gdy można znaleźć bazę przestrzeni złożoną z jej wektorów własnych. Nie każda macierz kwadratowa spełnia ten warunek.

Dlaczego diagonalizacja jest przydatna?

Jeżeli:

[
A=PDP^{-1}
]

to:

[
A^k=PD^kP^{-1}
]

Potęgę (D^k) można obliczyć przez podniesienie poszczególnych elementów diagonalnych do potęgi (k). Dzięki temu wyznaczenie wysokiej potęgi macierzy (A) staje się znacznie prostsze.

Funkcje macierzy diagonalnej

Prosta budowa pozwala również łatwo obliczać funkcje macierzowe. Dla odpowiednio zdefiniowanej funkcji (f):

[
f(D)=
\operatorname{diag}
\left(
f(d_1),f(d_2),\ldots,f(d_n)
\right)
]

Przykładowo wykładnicza macierzy diagonalnej wynosi:

[
e^D=
\operatorname{diag}
\left(
e^{d_1},e^{d_2},\ldots,e^{d_n}
\right)
]

Jeżeli:

[
D=
\begin{bmatrix}
1 & 0\
0 & 2
\end{bmatrix}
]

to:

[
e^D=
\begin{bmatrix}
e & 0\
0 & e^2
\end{bmatrix}
]

Podobnie można wyznaczać pierwiastki, logarytmy i inne funkcje, o ile są określone dla poszczególnych elementów diagonalnych.

Rozwiązywanie układu równań z macierzą diagonalną

Rozważmy równanie:

[
Dx=b
]

gdzie:

[
D=
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\
0 & d_2 & \cdots & 0\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
0 & 0 & \cdots & d_n
\end{bmatrix}
]

Układ rozpada się na niezależne równania:

[
d_1x_1=b_1
]

[
d_2x_2=b_2
]

[
\vdots
]

[
d_nx_n=b_n
]

Jeżeli wszystkie (d_i) są różne od zera, rozwiązanie ma postać:

[
x_i=\frac{b_i}{d_i}
]

Nie jest potrzebna eliminacja kolejnych niewiadomych. Każde równanie można rozwiązać oddzielnie.

Jeżeli któreś (d_i=0), trzeba sprawdzić odpowiadający element (b_i). Równanie (0x_i=b_i) nie ma rozwiązania dla (b_i\neq0), natomiast dla (b_i=0) niewiadoma (x_i) może przyjmować dowolną wartość.

Zastosowania macierzy diagonalnych

Algebra liniowa

Macierze diagonalne są wykorzystywane do analizy wartości i wektorów własnych, potęgowania macierzy, rozwiązywania układów równań oraz badania przekształceń liniowych.

Równania różniczkowe

Po diagonalizacji macierzy układ powiązanych równań różniczkowych może zostać przekształcony w zestaw prostszych, niezależnych równań. Ułatwia to zarówno znalezienie rozwiązania, jak i analizę jego zachowania.

Grafika komputerowa

Macierz diagonalna może opisywać niezależne skalowanie współrzędnych.

W przestrzeni dwuwymiarowej:

[
S=
\begin{bmatrix}
s_x & 0\
0 & s_y
\end{bmatrix}
]

skaluje pierwszą współrzędną przez (s_x), a drugą przez (s_y).

Dla wektora:

[
v=
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
Sv=
\begin{bmatrix}
s_xx\
s_yy
\end{bmatrix}
]

Statystyka

Macierze diagonalne pojawiają się między innymi jako macierze wariancji i kowariancji, gdy rozpatrywane zmienne są nieskorelowane. Elementy diagonalne opisują wtedy wariancje, a elementy poza przekątną są równe zero.

Uczenie maszynowe i analiza danych

Macierze diagonalne służą do skalowania cech, wprowadzania wag, opisu niektórych macierzy kowariancji oraz wykonywania obliczeń, w których poszczególne współrzędne są przekształcane niezależnie.

Fizyka i mechanika

W odpowiednio dobranym układzie współrzędnych macierze opisujące niektóre operatory, tensory lub momenty bezwładności mogą przyjmować postać diagonalną. Ułatwia to interpretację ich głównych kierunków i wartości.

Macierz blokowo-diagonalna

Macierz blokowo-diagonalna jest uogólnieniem macierzy diagonalnej. Na głównej przekątnej znajdują się całe macierze kwadratowe, nazywane blokami, natomiast poza nimi występują macierze zerowe.

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 & 0\
3 & 4 & 0 & 0\
0 & 0 & 5 & 6\
0 & 0 & 7 & 8
\end{bmatrix}
]

Można ją zapisać jako:

[
A=
\begin{bmatrix}
A_1 & 0\
0 & A_2
\end{bmatrix}
]

gdzie:

[
A_1=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
A_2=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}
]

Macierze blokowo-diagonalne umożliwiają rozdzielenie dużego problemu na kilka mniejszych, niezależnych części.

Macierz diagonalna a dominująca diagonalnie

Macierz diagonalna nie jest tym samym co macierz dominująca diagonalnie.

W macierzy diagonalnej wszystkie elementy poza główną przekątną są zerowe.

W macierzy dominującej diagonalnie elementy poza przekątną mogą być niezerowe. Wymaga się jednak, aby wartość bezwzględna elementu diagonalnego w każdym wierszu była co najmniej tak duża jak suma wartości bezwzględnych pozostałych elementów tego wiersza:

[
|a_{ii}|\geq\sum_{j\neq i}|a_{ij}|
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
5 & 1\
2 & 4
\end{bmatrix}
]

nie jest diagonalny, ponieważ poza przekątną znajdują się liczby (1) i (2). Może jednak spełniać warunek dominacji diagonalnej.

Zbieżność nazw bywa przyczyną błędów, ale są to dwa odrębne pojęcia.

Najczęstsze błędy w zadaniach

Założenie, że wszystkie elementy diagonalne muszą być niezerowe

Zera na głównej przekątnej są dozwolone. Wpływają jedynie na wyznacznik, rząd i odwracalność macierzy.

Mylenie macierzy diagonalnej z jednostkową

Macierz jednostkowa ma na przekątnej same jedynki. Macierz diagonalna może mieć tam dowolne liczby.

Mylenie macierzy diagonalnej z trójkątną

Macierz trójkątna może mieć niezerowe elementy po jednej stronie głównej przekątnej. W macierzy diagonalnej wszystkie elementy po obu stronach muszą być zerowe.

Nieprawidłowe obliczanie odwrotności

Aby odwrócić macierz diagonalną, należy zastąpić każdy element (d_i) liczbą (1/d_i). Nie można tego zrobić, gdy choć jeden (d_i=0).

Utożsamianie macierzy diagonalnej z diagonalizowalną

Macierz diagonalna już ma odpowiednią postać. Macierz diagonalizowalna dopiero może zostać do niej sprowadzona przez zmianę bazy.

Mnożenie wszystkich elementów przez jedną liczbę diagonalną

Przy mnożeniu (AD) różne kolumny macierzy (A) są mnożone przez różne elementy przekątnej. Przy mnożeniu (DA) skalowane są natomiast wiersze.

Macierz diagonalna – najważniejsze informacje

Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zero. Elementy na przekątnej mogą być dowolne.

Jej podstawowe własności to:

[
\det(D)=d_1d_2\cdots d_n
]

[
D^k=\operatorname{diag}(d_1^k,\ldots,d_n^k)
]

[
D^{-1}=
\operatorname{diag}
\left(
\frac{1}{d_1},\ldots,\frac{1}{d_n}
\right)
]

pod warunkiem, że żaden (d_i) nie jest zerem.

Wartości własne macierzy diagonalnej są widoczne bezpośrednio na jej przekątnej. Proste są również obliczenia śladu, rzędu, iloczynu i funkcji macierzowych. Z tego powodu postać diagonalna jest szczególnie cenna w algebrze liniowej i jej zastosowaniach.

FAQ – macierz diagonalna

Co to jest macierz diagonalna?

Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zero. Elementy leżące na samej przekątnej mogą być dodatnie, ujemne lub zerowe. Macierz zapisuje się często jako (D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)).

Jak sprawdzić, czy macierz jest diagonalna?

Najpierw należy sprawdzić, czy macierz jest kwadratowa. Następnie trzeba obejrzeć wszystkie elementy znajdujące się poza główną przekątną. Jeżeli każdy z nich jest równy zero, macierz jest diagonalna. Wystarczy jeden niezerowy element poza przekątną, aby warunek nie był spełniony.

Czy macierz diagonalna może mieć zero na przekątnej?

Tak. Zera na głównej przekątnej nie naruszają definicji. Macierz z takim elementem nadal jest diagonalna, ale jej wyznacznik wynosi zero. Nie posiada więc macierzy odwrotnej i nie ma pełnego rzędu. Liczba niezerowych elementów diagonalnych wyznacza jej rząd.

Jak obliczyć wyznacznik macierzy diagonalnej?

Wyznacznik jest iloczynem elementów głównej przekątnej. Dla (D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)) otrzymujemy (\det(D)=d_1d_2\cdots d_n). Jeżeli choć jeden element diagonalny jest zerem, cały wyznacznik również wynosi zero.

Jak obliczyć macierz odwrotną do diagonalnej?

Każdy element głównej przekątnej należy zastąpić jego odwrotnością. Dla (D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)) otrzymuje się (D^{-1}=\operatorname{diag}(1/d_1,\ldots,1/d_n)). Operacja jest możliwa wyłącznie wtedy, gdy wszystkie elementy diagonalne są różne od zera.

Czym macierz diagonalna różni się od jednostkowej?

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej. Poza przekątną zawiera zera, a na całej głównej przekątnej ma jedynki. W zwykłej macierzy diagonalnej na przekątnej mogą znajdować się dowolne liczby, również liczby ujemne i zera.

Czym różni się macierz diagonalna od diagonalizowalnej?

Macierz diagonalna już zawiera zera poza główną przekątną. Macierz diagonalizowalna może mieć inną postać, ale można znaleźć odwracalną macierz (P), dla której (P^{-1}AP=D). Nie każda macierz kwadratowa jest diagonalizowalna, natomiast każda macierz diagonalna spełnia ten warunek.