Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy wynoszą 0. Oznacza się ją najczęściej symbolem (I) lub (I_n), gdzie (n) określa liczbę wierszy i kolumn.

Jej najważniejsza właściwość polega na tym, że nie zmienia macierzy podczas mnożenia. Pełni więc w rachunku macierzowym podobną funkcję jak liczba 1 w zwykłym mnożeniu. Dla macierzy o odpowiednich wymiarach zachodzi:

[
AI=A
]

oraz:

[
IA=A.
]

Macierz jednostkowa jest potrzebna między innymi do definiowania macierzy odwrotnej, rozwiązywania układów równań, zapisywania przekształcenia tożsamościowego i wyznaczania wartości własnych.

Co to jest macierz jednostkowa?

Macierz jednostkowa jest szczególnym rodzajem macierzy kwadratowej. Musi mieć tyle samo wierszy co kolumn. Jej elementy spełniają warunek:

[
a_{ij}=
\begin{cases}
1, & \text{gdy } i=j,\
0, & \text{gdy } i\neq j.
\end{cases}
]

Indeksy (i) oraz (j) oznaczają odpowiednio numer wiersza i kolumny. Gdy są takie same, element leży na głównej przekątnej i ma wartość 1. W pozostałych miejscach występują zera.

Ogólną postać macierzy jednostkowej stopnia (n) można zapisać jako:

[
I_n=
\begin{bmatrix}
1&0&0&\cdots&0\
0&1&0&\cdots&0\
0&0&1&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&0&\cdots&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz (I_n) ma wymiar:

[
n\times n.
]

W literaturze anglojęzycznej występują określenia „identity matrix” oraz, rzadziej, „unit matrix”. Pierwsze z nich jest jednoznaczne. Nie należy natomiast mylić macierzy jednostkowej z macierzą unitarną, która jest innym pojęciem algebry liniowej.

Jak wygląda macierz jednostkowa?

Wygląd macierzy zależy od jej stopnia, czyli liczby wierszy i kolumn. Układ jedynek oraz zer pozostaje jednak zawsze taki sam.

Macierz jednostkowa stopnia pierwszego

Najmniejsza macierz jednostkowa ma postać:

[
I_1=
\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}.
]

Jest to macierz (1\times1), zawierająca tylko jeden element.

Macierz jednostkowa 2 × 2

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Jedynki znajdują się na pozycjach (a_{11}) i (a_{22}). Wszystkie pozostałe elementy są zerami.

Macierz jednostkowa 3 × 3

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu macierzy.

Macierz jednostkowa 4 × 4

[
I_4=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0&0&0&1
\end{bmatrix}.
]

W macierzy jednostkowej stopnia (n) występuje dokładnie (n) jedynek. Liczba pozostałych elementów, równych zero, wynosi:

[
n^2-n.
]

Definicja pozostaje taka sama niezależnie od wielkości macierzy: jedynki leżą na głównej przekątnej, a poza nią znajdują się wyłącznie zera.

Dlaczego macierz jednostkowa musi być kwadratowa?

Standardowa macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, ponieważ ma być elementem neutralnym mnożenia macierzy. Aby można ją było pomnożyć przez tę samą macierz zarówno z lewej, jak i z prawej strony bez zmiany wyniku, jej rozmiar musi być odpowiednio dopasowany.

Dla kwadratowej macierzy (A) stopnia (n):

[
A_{n\times n}I_n=A
]

oraz:

[
I_nA_{n\times n}=A.
]

W przypadku macierzy prostokątnej potrzebne są dwie macierze jednostkowe o różnych rozmiarach. Jeżeli:

[
A_{m\times n},
]

to:

[
I_mA=A
]

oraz:

[
AI_n=A.
]

Macierz stojąca z lewej strony musi mieć rozmiar (m\times m), natomiast macierz stojąca z prawej strony – (n\times n).

Przykładowo dla macierzy (A) o wymiarze (2\times3):

[
I_2A=A
]

oraz:

[
AI_3=A.
]

Nie można zastąpić obu tych macierzy jednym obiektem o takim samym rozmiarze, ponieważ wymiary iloczynów byłyby niezgodne. Właśnie dlatego pojęcie neutralnego elementu mnożenia odnosi się standardowo do kwadratowych macierzy jednostkowych.

Macierz jednostkowa jako element neutralny mnożenia

Najważniejsza cecha macierzy jednostkowej przypomina własność liczby 1:

[
a\cdot1=1\cdot a=a.
]

W przypadku macierzy zachodzi analogiczna zależność:

[
AI=IA=A,
]

o ile wymiary wszystkich macierzy pozwalają wykonać działania.

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy iloczyn:

[
AI_2=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Pierwszy element wyniku wynosi:

[
2\cdot1+3\cdot0=2.
]

Drugi element pierwszego wiersza:

[
2\cdot0+3\cdot1=3.
]

Analogicznie otrzymujemy:

[
AI_2=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}=A.
]

Po zmianie kolejności także otrzymamy:

[
I_2A=A.
]

Nie wynika to z przemienności mnożenia macierzy, ponieważ mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne. Jest to szczególna własność macierzy jednostkowej, która działa neutralnie zarówno z lewej, jak i z prawej strony.

Mnożenie macierzy prostokątnej przez macierz jednostkową

W przypadku macierzy prostokątnej szczególnie ważny jest dobór właściwego rozmiaru macierzy jednostkowej.

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A) ma wymiar (2\times3). Aby pomnożyć ją przez macierz jednostkową z prawej strony, trzeba zastosować (I_3):

[
AI_3=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Wynik wynosi:

[
AI_3=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Przy mnożeniu z lewej strony potrzebna jest macierz (I_2):

[
I_2A=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Ponownie otrzymujemy:

[
I_2A=A.
]

Ten przykład pokazuje, dlaczego przy zapisie (AI=A) nie zawsze wystarczy użyć samego symbolu (I). Gdy rozmiar nie wynika jednoznacznie z kontekstu, bezpieczniej zapisać (I_m) lub (I_n).

Najważniejsze właściwości macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa ma szereg właściwości wynikających bezpośrednio z jej budowy oraz roli w mnożeniu macierzy.

Jest macierzą diagonalną

Macierz diagonalna ma zera poza główną przekątną. Macierz jednostkowa spełnia ten warunek, dlatego jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej:

[
I_n=\operatorname{diag}(1,1,\ldots,1).
]

Nie każda macierz diagonalna jest jednak jednostkowa. Przykładowo:

[
D=
\begin{bmatrix}
2&0\
0&5
\end{bmatrix}
]

jest diagonalna, ale nie jest jednostkowa, ponieważ elementy na jej głównej przekątnej nie są równe 1.

Jest macierzą symetryczną

Transpozycja zamienia wiersze macierzy w kolumny. W przypadku macierzy jednostkowej operacja ta nie zmienia jej postaci:

[
I_n^T=I_n.
]

Macierz jednostkowa jest zatem macierzą symetryczną.

Jest własną macierzą odwrotną

Macierz odwrotna (A^{-1}) spełnia warunek:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Dla macierzy jednostkowej:

[
I_nI_n=I_n,
]

dlatego:

[
I_n^{-1}=I_n.
]

Odwrócenie macierzy jednostkowej nie zmienia jej.

Jej wyznacznik wynosi 1

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej. W macierzy jednostkowej wszystkie te elementy są równe 1:

[
\det(I_n)=1\cdot1\cdot\ldots\cdot1=1.
]

Niezerowy wyznacznik potwierdza, że macierz jednostkowa jest odwracalna i ma pełny rząd.

Jej rząd jest maksymalny

Każdy wiersz macierzy jednostkowej zawiera jedynkę na innej pozycji. Wiersze są więc liniowo niezależne. To samo dotyczy kolumn.

Dla macierzy stopnia (n):

[
\operatorname{rank}(I_n)=n.
]

Macierz jednostkowa ma zatem pełny rząd.

Jej ślad jest równy stopniowi macierzy

Ślad macierzy to suma elementów leżących na głównej przekątnej. Ponieważ macierz (I_n) zawiera na niej (n) jedynek:

[
\operatorname{tr}(I_n)=n.
]

Przykładowo:

[
\operatorname{tr}(I_4)=1+1+1+1=4.
]

Każda jej wartość własna wynosi 1

Jeżeli (v) jest dowolnym niezerowym wektorem, to:

[
I_nv=v.
]

Można to zapisać jako:

[
I_nv=1\cdot v.
]

Oznacza to, że każdy niezerowy wektor jest wektorem własnym macierzy jednostkowej, a odpowiadająca mu wartość własna wynosi 1.

Jest macierzą ortogonalną

Dla rzeczywistej macierzy ortogonalnej zachodzi:

[
A^TA=I.
]

Ponieważ:

[
I_n^T=I_n
]

oraz:

[
I_nI_n=I_n,
]

macierz jednostkowa jest ortogonalna. W przestrzeni zespolonej jest również macierzą unitarną.

Jest macierzą idempotentną

Macierz jest idempotentna, jeżeli:

[
A^2=A.
]

Macierz jednostkowa spełnia tę zależność:

[
I_n^2=I_n.
]

Co więcej, dla każdej dodatniej liczby całkowitej (k):

[
I_n^k=I_n.
]

Nie każda macierz idempotentna jest jednak jednostkowa. Przykładowo macierze projekcji także mogą spełniać warunek (P^2=P).

Potęgowanie macierzy jednostkowej

Potęga macierzy oznacza jej wielokrotne mnożenie przez samą siebie. Dla macierzy jednostkowej:

[
I_n^2=I_n\cdot I_n=I_n,
]

[
I_n^3=I_n\cdot I_n\cdot I_n=I_n.
]

Ogólnie:

[
I_n^k=I_n
]

dla każdej dodatniej liczby całkowitej (k).

Zgodnie z przyjętą definicją zerowej potęgi macierzy kwadratowej:

[
I_n^0=I_n.
]

Macierz jednostkowa pozostaje więc taka sama bez względu na wykładnik będący nieujemną liczbą całkowitą.

Macierz jednostkowa a macierz odwrotna

Macierz jednostkowa jest niezbędna do zdefiniowania macierzy odwrotnej. Macierz (B) jest odwrotna do macierzy (A), jeżeli:

[
AB=BA=I.
]

Macierz odwrotną oznacza się jako (A^{-1}), dlatego:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Zależność ta przypomina mnożenie liczby przez jej odwrotność:

[
a\cdot\frac{1}{a}=1,
]

o ile (a\neq0).

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
1&1
\end{bmatrix}
]

macierz odwrotna ma postać:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&-1\
-1&2
\end{bmatrix}.
]

Po pomnożeniu otrzymujemy:

[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2&1\
1&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&-1\
-1&2
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}
=I_2.
]

Nie każda macierz kwadratowa ma macierz odwrotną. Jest ona odwracalna wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Macierz jednostkowa sama jest odwracalna, ponieważ jej wyznacznik wynosi 1.

Wyznaczanie macierzy odwrotnej z użyciem macierzy jednostkowej

Jedną z metod obliczania macierzy odwrotnej jest eliminacja Gaussa-Jordana. Macierz (A) zapisuje się obok macierzy jednostkowej tego samego stopnia:

[
[A\mid I].
]

Następnie wykonuje się operacje elementarne na wierszach, aby po lewej stronie otrzymać macierz jednostkową:

[
[A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}].
]

Przykładowo dla macierzy (2\times2) zaczynamy od układu:

[
\left[
\begin{array}{cc|cc}
a&b&1&0\
c&d&0&1
\end{array}
\right].
]

Jeżeli uda się przekształcić lewą część w (I_2), prawa część będzie macierzą odwrotną. Jeżeli uzyskanie macierzy jednostkowej jest niemożliwe, macierz (A) nie ma odwrotności. Metoda opiera się na wykonywaniu tych samych operacji na macierzy wyjściowej i dołączonej macierzy jednostkowej.

Macierz jednostkowa w układach równań

Układ równań liniowych można zapisać w postaci:

[
Ax=b,
]

gdzie:

• (A) jest macierzą współczynników,
• (x) jest wektorem niewiadomych,
• (b) jest wektorem wyrazów wolnych.

Jeżeli macierz (A) jest odwracalna, obie strony równania można pomnożyć z lewej strony przez (A^{-1}):

[
A^{-1}Ax=A^{-1}b.
]

Ponieważ:

[
A^{-1}A=I,
]

otrzymujemy:

[
Ix=A^{-1}b.
]

Macierz jednostkowa nie zmienia wektora (x), więc:

[
x=A^{-1}b.
]

Jej rola polega tutaj na usunięciu działania wykonywanego przez macierz (A). Jest to macierzowy odpowiednik skrócenia liczby przez jej odwrotność.

Jakie przekształcenie opisuje macierz jednostkowa?

Macierz może reprezentować przekształcenie liniowe. Jeżeli:

[
T(x)=Ax,
]

to macierz (A) określa, jak zmieniają się wektory.

Dla macierzy jednostkowej:

[
T(x)=I_nx=x.
]

Każdy wektor zostaje więc przekształcony w samego siebie. Jest to przekształcenie tożsamościowe.

W przestrzeni dwuwymiarowej macierz:

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}
]

nie obraca, nie skaluje, nie odbija ani nie ścina figury. Każdy punkt pozostaje w pierwotnym położeniu.

W przestrzeni trójwymiarowej (I_3) również pozostawia wszystkie współrzędne bez zmian:

[
I_3
\begin{bmatrix}
x\
y\
z
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
x\
y\
z
\end{bmatrix}.
]

Z tego powodu macierz jednostkowa jest naturalnym punktem odniesienia przy opisywaniu przekształceń geometrycznych.

Macierz jednostkowa w równaniu charakterystycznym

Macierz jednostkowa pojawia się również przy obliczaniu wartości własnych. Dla macierzy kwadratowej (A) rozwiązuje się równanie:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Symbol (\lambda) jest liczbą, natomiast (A) jest macierzą. Nie można bezpośrednio odjąć liczby od macierzy, dlatego wartość (\lambda) mnoży się przez macierz jednostkową:

[
\lambda I=
\begin{bmatrix}
\lambda&0&\cdots&0\
0&\lambda&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&\cdots&\lambda
\end{bmatrix}.
]

Dzięki temu macierze (A) oraz (\lambda I) mają takie same wymiary i można je odjąć.

Dla macierzy jednostkowej wszystkie wartości własne wynoszą 1. Jej wielomian charakterystyczny, zależnie od przyjętej konwencji zapisu, ma postać:

[
(1-\lambda)^n
]

lub:

[
(\lambda-1)^n.
]

Macierz jednostkowa a inne szczególne macierze

Macierz jednostkowa bywa mylona z macierzą zerową, diagonalną oraz macierzą złożoną wyłącznie z jedynek. Są to różne obiekty.

Rodzaj macierzy	Główna przekątna	Elementy poza przekątną	Najważniejsza właściwość
Jednostkowa	Same jedynki	Same zera	(AI=IA=A)
Zerowa	Same zera	Same zera	(A+0=A)
Diagonalna	Dowolne wartości	Same zera	Skaluje współrzędne niezależnie
Skalarna	Ta sama wartość	Same zera	Ma postać (\lambda I)
Macierz jedynek	Same jedynki	Same jedynki	Nie jest neutralna dla mnożenia

Macierz jednostkowa a macierz zerowa

Macierz zerowa stopnia (n) ma postać:

[
0_n=
\begin{bmatrix}
0&0&\cdots&0\
0&0&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&\cdots&0
\end{bmatrix}.
]

Jest elementem neutralnym dodawania:

[
A+0=A.
]

Macierz jednostkowa jest natomiast elementem neutralnym mnożenia:

[
AI=IA=A.
]

Macierz jednostkowa a macierz diagonalna

Każda macierz jednostkowa jest diagonalna, ale nie każda macierz diagonalna jest jednostkowa.

Macierz:

[
\begin{bmatrix}
3&0\
0&-2
\end{bmatrix}
]

jest diagonalna, lecz nie jednostkowa.

Macierz jednostkowa a macierz skalarna

Macierz skalarna ma postać:

[
\lambda I_n.
]

Na jej głównej przekątnej występuje ta sama liczba (\lambda), a pozostałe elementy wynoszą zero.

Przykład:

[
3I_3=
\begin{bmatrix}
3&0&0\
0&3&0\
0&0&3
\end{bmatrix}.
]

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy skalarnej dla:

[
\lambda=1.
]

Macierz jednostkowa a macierz złożona z jedynek

Macierz:

[
J_3=
\begin{bmatrix}
1&1&1\
1&1&1\
1&1&1
\end{bmatrix}
]

nie jest macierzą jednostkową. Jedynki powinny znajdować się wyłącznie na głównej przekątnej. Poza nią muszą występować zera.

Macierz jednostkowa a macierz unitarna

Podobieństwo nazw może prowadzić do pomyłek. Macierz jednostkowa i macierz unitarna nie oznaczają tego samego.

Macierz jednostkowa ma konkretną postać:

[
I_n=
\begin{bmatrix}
1&0&\cdots&0\
0&1&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&\cdots&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz unitarna (U) spełnia natomiast warunek:

[
U^U=UU^=I,
]

gdzie (U^*) oznacza sprzężenie hermitowskie.

Macierz jednostkowa jest macierzą unitarną, ale istnieje wiele innych macierzy unitarnych. Nie można więc stosować obu nazw zamiennie.

Jak utworzyć macierz jednostkową w Excelu?

W programie Excel macierz jednostkową można utworzyć za pomocą funkcji:

=MACIERZ.JEDNOSTKOWA(wymiar)

Aby otrzymać macierz (3\times3), należy wpisać:

=MACIERZ.JEDNOSTKOWA(3)

Wynikiem będzie:

[
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Argument funkcji musi być dodatnią liczbą całkowitą określającą liczbę wierszy i kolumn. W aktualnych wersjach Excela wynik może zostać zwrócony jako dynamiczna tablica rozlewająca się na odpowiedni zakres komórek.

Jak utworzyć macierz jednostkową w Pythonie?

W bibliotece NumPy można wykorzystać funkcję:

numpy.identity(n)

Przykład:

np.identity(3)

zwraca kwadratową tablicę (3\times3) z jedynkami na głównej przekątnej i zerami w pozostałych miejscach. Domyślnym typem zwracanych danych są liczby zmiennoprzecinkowe.

Druga możliwość to:

numpy.eye(n)

Przykład:

np.eye(4)

tworzy macierz (4\times4). Funkcja eye jest bardziej elastyczna, ponieważ może również utworzyć tablicę prostokątną lub przesunąć przekątną za pomocą dodatkowych argumentów. Prostokątna tablica wygenerowana przez eye nie jest jednak dwustronnym elementem neutralnym mnożenia macierzy w standardowym znaczeniu.

Do czego służy macierz jednostkowa?

Macierz jednostkowa pojawia się w niemal wszystkich podstawowych działach algebry liniowej.

Definiowanie macierzy odwrotnej

Macierz (A^{-1}) jest odwrotna do (A), gdy:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Bez macierzy jednostkowej nie można byłoby zapisać tej definicji.

Rozwiązywanie układów równań

Przy rozwiązaniu równania:

[
Ax=b
]

macierz jednostkowa pojawia się po pomnożeniu przez (A^{-1}):

[
A^{-1}Ax=Ix=x.
]

Eliminacja Gaussa-Jordana

Do macierzy wyjściowej dołącza się macierz jednostkową:

[
[A\mid I],
]

a następnie przekształca lewą część w (I), otrzymując po prawej stronie (A^{-1}).

Opisywanie przekształcenia tożsamościowego

Macierz jednostkowa reprezentuje przekształcenie, które nie zmienia żadnego wektora:

[
Ix=x.
]

Wyznaczanie wartości własnych

W równaniu charakterystycznym występuje wyrażenie:

[
A-\lambda I.
]

Macierz jednostkowa umożliwia potraktowanie liczby (\lambda) jako macierzy skalarnej odpowiedniego rozmiaru.

Budowanie macierzy blokowych

Macierze jednostkowe są często używane jako części większych macierzy blokowych. Pozwalają zapisywać złożone układy w bardziej czytelnej formie.

Obliczenia numeryczne

W metodach numerycznych występują między innymi wyrażenia:

[
A+\lambda I,
]

które zmieniają elementy głównej przekątnej macierzy (A). Taka konstrukcja pojawia się między innymi przy stabilizacji niektórych obliczeń oraz w problemach regularyzowanych.

Najczęstsze błędy dotyczące macierzy jednostkowej

Wpisywanie jedynek we wszystkich polach

Macierz jednostkowa nie jest macierzą złożoną wyłącznie z jedynek. Jedynki znajdują się tylko na głównej przekątnej, a wszystkie pozostałe elementy muszą być zerami.

Tworzenie macierzy prostokątnej

Standardowa macierz jednostkowa jest kwadratowa. Tablica (2\times3) z jedynkami na części przekątnej może przypominać macierz jednostkową, ale nie jest dwustronnym elementem neutralnym mnożenia.

Użycie niewłaściwego rozmiaru

Dla macierzy (A_{m\times n}) obowiązują zależności:

[
I_mA=A
]

oraz:

[
AI_n=A.
]

Użycie (I_m) po prawej stronie albo (I_n) po lewej może uniemożliwić wykonanie działania.

Mylenie symbolu (I) z liczbą 1

W zapisie macierzowym (I) oznacza całą macierz, a nie pojedynczą liczbę. Wyrażenie:

[
A-I
]

oznacza odjęcie macierzy jednostkowej odpowiedniego stopnia od macierzy (A).

Mylenie głównej przekątnej z przekątną przeciwną

Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu. Macierz:

[
\begin{bmatrix}
0&1\
1&0
\end{bmatrix}
]

nie jest jednostkowa. Jedynki leżą w niej na przekątnej przeciwnej.

Zakładanie przemienności wszystkich macierzy

Zależność:

[
AI=IA=A
]

nie oznacza, że mnożenie dowolnych macierzy jest przemienne. Zazwyczaj:

[
AB\neq BA.
]

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem elementu, który można umieścić po obu stronach bez zmiany wyniku.

Mylenie macierzy jednostkowej z odwrotną

Macierz jednostkowa nie jest automatycznie macierzą odwrotną do dowolnej macierzy. Jest wynikiem pomnożenia danej macierzy przez jej właściwą odwrotność:

[
AA^{-1}=I.
]

Tylko dla samej macierzy jednostkowej zachodzi:

[
I^{-1}=I.
]

Jak rozpoznać macierz jednostkową?

Aby sprawdzić, czy dana macierz jest jednostkowa, wystarczy wykonać trzy kroki:

1. sprawdzić, czy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn,
2. sprawdzić, czy wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1,
3. sprawdzić, czy wszystkie elementy poza przekątną są równe 0.

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz jest kwadratowa, na głównej przekątnej ma jedynki, a poza nią zera. Jest więc macierzą jednostkową (I_3).

Macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&2&0\
0&0&1
\end{bmatrix}
]

nie jest jednostkowa, ponieważ środkowy element głównej przekątnej wynosi 2.

Macierz:

[
C=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&4\
0&0&1
\end{bmatrix}
]

również nie jest jednostkowa, ponieważ poza główną przekątną znajduje się element różny od zera.

Macierz jednostkowa – najważniejsze informacje

Macierz jednostkowa to kwadratowa macierz zawierająca jedynki na głównej przekątnej i zera we wszystkich pozostałych miejscach. Oznacza się ją symbolem (I_n), gdzie (n) wskazuje jej stopień.

Jest elementem neutralnym mnożenia macierzy, dlatego dla zgodnych wymiarów zachodzi:

[
I_mA=A
]

oraz:

[
AI_n=A.
]

Macierz jednostkowa jest diagonalna, symetryczna, odwracalna, ortogonalna i idempotentna. Jej wyznacznik wynosi 1, rząd jest równy (n), a wszystkie wartości własne są równe 1. Stanowi podstawę definicji macierzy odwrotnej, przekształcenia tożsamościowego i wielu metod algebry liniowej.

FAQ

Co to jest macierz jednostkowa?

Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, która ma jedynki na głównej przekątnej i zera w każdym pozostałym miejscu. Oznacza się ją symbolem (I) lub (I_n). Jest elementem neutralnym mnożenia macierzy, dlatego pomnożenie zgodnej wymiarowo macierzy przez nią nie zmienia wyniku.

Jak wygląda macierz jednostkowa 3 × 3?

Macierz jednostkowa (3\times3) ma trzy jedynki rozmieszczone na głównej przekątnej oraz sześć zer poza nią. Ma postać (I_3=[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]). Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu macierzy.

Dlaczego macierz jednostkowa działa jak liczba 1?

Liczba 1 nie zmienia wartości drugiego czynnika, ponieważ (a\cdot1=1\cdot a=a). Macierz jednostkowa ma analogiczną właściwość: dla zgodnych wymiarów (AI=IA=A). Wynika to z rozmieszczenia jedynek na przekątnej i zer poza nią oraz z zasad mnożenia wierszy przez kolumny.

Czy macierz jednostkowa może być prostokątna?

W standardowym znaczeniu macierz jednostkowa jest zawsze kwadratowa. Można utworzyć prostokątną tablicę z jedynkami na części głównej przekątnej, lecz nie będzie ona dwustronnym elementem neutralnym mnożenia. Dla macierzy (m\times n) używa się (I_m) z lewej strony i (I_n) z prawej.

Jaki jest wyznacznik macierzy jednostkowej?

Wyznacznik macierzy jednostkowej każdego dodatniego stopnia wynosi 1. Jest ona macierzą diagonalną, więc wyznacznik jest iloczynem elementów głównej przekątnej. Ponieważ wszystkie te elementy są równe 1, otrzymujemy (\det(I_n)=1). Macierz jednostkowa jest zatem zawsze odwracalna.

Czy macierz jednostkowa jest swoją macierzą odwrotną?

Tak. Macierz odwrotna musi po pomnożeniu przez macierz wyjściową dawać macierz jednostkową. Ponieważ (I_nI_n=I_n), odwrotnością macierzy jednostkowej jest ona sama: (I_n^{-1}=I_n). Jest również własną transpozycją, ponieważ zachodzi (I_n^T=I_n).

Czym różni się macierz jednostkowa od macierzy zerowej?

Macierz jednostkowa ma jedynki na głównej przekątnej i jest elementem neutralnym mnożenia: (AI=IA=A). Macierz zerowa zawiera wyłącznie zera i jest elementem neutralnym dodawania: (A+0=A). Pomnożenie macierzy przez macierz zerową daje natomiast macierz zerową.