Wyznacznik macierzy to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Pozwala między innymi sprawdzić, czy macierz ma odwrotność, czy kolumny lub wiersze są liniowo niezależne oraz czy układ równań liniowych ma jednoznaczne rozwiązanie. Wyznacznik ma również interpretację geometryczną: jego wartość bezwzględna opisuje, jak dane przekształcenie liniowe zmienia pole powierzchni lub objętość.

Dla macierzy (2\times2) wyznacznik oblicza się ze wzoru (ad-bc). W przypadku macierzy (3\times3) można zastosować regułę Sarrusa, rozwinięcie Laplace’a albo eliminację Gaussa. Dla większych macierzy najwygodniejsze są przekształcenia wierszowe prowadzące do macierzy trójkątnej.

Najważniejsza zasada brzmi: jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero, macierz jest osobliwa i nie ma klasycznej macierzy odwrotnej. Gdy wyznacznik jest różny od zera, macierz jest odwracalna.

Co to jest wyznacznik macierzy?

Wyznacznik jest wartością skalarną, czyli pojedynczą liczbą wyznaczaną na podstawie elementów macierzy kwadratowej. Najczęściej oznacza się go na jeden z dwóch sposobów:

[
\det(A)
]

albo:

[
|A|.
]

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix},
]

to zapis wyznacznika może wyglądać następująco:

[
\det(A)=
\begin{vmatrix}
a&b\
c&d
\end{vmatrix}.
]

Należy odróżniać macierz od jej wyznacznika. Macierz jest prostokątną tablicą liczb, natomiast wyznacznik jest jedną liczbą otrzymaną po wykonaniu określonych działań na jej elementach. MIT OpenCourseWare definiuje determinant jako liczbę związaną z każdą macierzą kwadratową i podkreśla, że zawiera ona istotne informacje o właściwościach macierzy.

Czy każda macierz ma wyznacznik?

Klasyczny wyznacznik oblicza się wyłącznie dla macierzy kwadratowych, czyli takich, które mają tyle samo wierszy i kolumn.

Wyznacznik można więc obliczyć dla macierzy:

• (1\times1);
• (2\times2);
• (3\times3);
• (4\times4);
• dowolnego wymiaru (n\times n).

Nie wyznacza się go natomiast dla zwykłej macierzy (2\times3), (3\times4) czy (5\times2). W takich przypadkach liczba wierszy i kolumn nie jest jednakowa.

Co oznacza wartość wyznacznika?

Sam wynik obliczenia mówi znacznie więcej niż tylko to, czy rachunki zostały wykonane poprawnie.

Wyznacznik różny od zera

Jeżeli:

[
\det(A)\neq0,
]

to macierz jest nieosobliwa, czyli odwracalna. Oznacza to między innymi, że:

• istnieje macierz (A^{-1});
• wiersze macierzy są liniowo niezależne;
• kolumny macierzy są liniowo niezależne;
• macierz ma pełny rząd;
• układ (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego wektora (b).

Wyznacznik równy zero

Jeżeli:

[
\det(A)=0,
]

macierz jest osobliwa i nie ma macierzy odwrotnej. Jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne, a odpowiadające jej przekształcenie powoduje utratę części informacji.

Przykładowo przekształcenie płaszczyzny może „spłaszczyć” ją do prostej. W takiej sytuacji nie da się jednoznacznie odtworzyć punktu początkowego, ponieważ wiele różnych punktów może zostać przekształconych w ten sam wynik.

Niezerowy wyznacznik jest warunkiem odwracalności macierzy, natomiast wyznacznik równy zero wskazuje na macierz osobliwą.

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 1×1?

Macierz stopnia pierwszego zawiera tylko jeden element:

[
A=
\begin{bmatrix}
a
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik jest równy temu elementowi:

[
\det(A)=a.
]

Przykładowo:

[
A=
\begin{bmatrix}
7
\end{bmatrix},
]

więc:

[
\det(A)=7.
]

Jeżeli jedynym elementem jest zero, wyznacznik również wynosi zero:

[
\det
\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
=0.
]

Wyznacznik macierzy 2×2

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

wyznacznik obliczamy według wzoru:

[
\det(A)=ad-bc.
]

Mnożymy więc elementy leżące na głównej przekątnej, a następnie odejmujemy iloczyn elementów z drugiej przekątnej:

[
\begin{vmatrix}
a&b\
c&d
\end{vmatrix}

a\cdot d-b\cdot c.
]

Jest to podstawowy wzór wykorzystywany zarówno przy obliczaniu odwrotności macierzy (2\times2), jak i przy rozwiązywaniu układów dwóch równań metodą Cramera.

Przykład 1

Obliczmy wyznacznik macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&2\
4&5
\end{bmatrix}.
]

Stosujemy wzór:

[
\det(A)=3\cdot5-2\cdot4.
]

Zatem:

[
\det(A)=15-8=7.
]

Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz jest odwracalna.

Przykład 2

Rozważmy macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy:

[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1.
]

Otrzymujemy:

[
\det(B)=4-4=0.
]

Macierz (B) nie ma odwrotności. Widać również, że pierwszy wiersz jest dwukrotnością drugiego, dlatego wiersze są liniowo zależne.

Przykład z liczbami ujemnymi

Niech:

[
C=
\begin{bmatrix}
-2&3\
4&-1
\end{bmatrix}.
]

Wyznacznik wynosi:

[
\det(C)=(-2)\cdot(-1)-3\cdot4.
]

Czyli:

[
\det(C)=2-12=-10.
]

Ujemna wartość nie oznacza, że macierz jest nieodwracalna. O odwracalności decyduje wyłącznie to, czy wynik jest równy zero.

Wyznacznik macierzy 3×3 – reguła Sarrusa

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b&c\
d&e&f\
g&h&i
\end{bmatrix}
]

wyznacznik można obliczyć według wzoru:

[
\det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.
]

Reguła Sarrusa polega na dopisaniu dwóch pierwszych kolumn po prawej stronie macierzy, a następnie obliczeniu iloczynów elementów leżących na sześciu przekątnych.

Trzy iloczyny biegnące w dół od lewej do prawej dodajemy, a trzy iloczyny biegnące w przeciwnym kierunku odejmujemy.

Reguła Sarrusa jest przeznaczona wyłącznie dla macierzy (3\times3). Nie można jej bezpośrednio stosować do macierzy (4\times4) ani większych.

Przykład obliczenia regułą Sarrusa

Obliczmy wyznacznik:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1&3\
0&-1&4\
5&2&0
\end{bmatrix}.
]

Korzystamy ze wzoru:

[
\det(A)=
2\cdot(-1)\cdot0+
1\cdot4\cdot5+
3\cdot0\cdot2
]

[

3\cdot(-1)\cdot5

1\cdot0\cdot0

2\cdot4\cdot2.
]

Obliczamy kolejne iloczyny:

[
\det(A)=0+20+0-(-15)-0-16.
]

Zatem:

[
\det(A)=20+15-16=19.
]

Ponieważ wynik jest różny od zera, macierz jest odwracalna.

Najczęstszy błąd w regule Sarrusa

Najłatwiej pomylić znak przy jednym z odejmowanych iloczynów. Jeżeli sam iloczyn jest ujemny, jego odjęcie zmienia się w dodawanie.

Przykładowo:

[
-\left(3\cdot(-1)\cdot5\right)
=-(-15)
=15.
]

Warto najpierw zapisać wszystkie sześć iloczynów, a dopiero później wykonywać działania na znakach.

Rozwinięcie Laplace’a i dopełnienia algebraiczne

Reguła Sarrusa działa tylko dla macierzy (3\times3). Bardziej uniwersalną metodą jest rozwinięcie Laplace’a, nazywane także rozwinięciem wyznacznika względem wiersza albo kolumny.

Minor elementu

Minorem (M_{ij}) elementu (a_{ij}) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej po usunięciu:

• (i)-tego wiersza;
• (j)-tej kolumny.

Dla macierzy (3\times3) po usunięciu jednego wiersza i jednej kolumny pozostaje macierz (2\times2).

Dopełnienie algebraiczne

Dopełnienie algebraiczne elementu (a_{ij}) określa wzór:

[
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
]

Znaki dopełnień algebraicznych układają się naprzemiennie:

[
\begin{bmatrix}
+&-&+\
-&+&-\
+&-&+
\end{bmatrix}.
]

Pierwszy element ma znak dodatni, następny ujemny, kolejny dodatni i tak dalej.

Rozwinięcie względem wiersza

Wyznacznik można rozwinąć względem dowolnego wiersza. Dla pierwszego wiersza macierzy (3\times3):

[
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
]

Po rozpisaniu znaków:

[
\det(A)=
a_{11}M_{11}
-a_{12}M_{12}
+a_{13}M_{13}.
]

Przykład rozwinięcia Laplace’a

Obliczmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&0&2\
-1&3&1\
0&2&4
\end{bmatrix}.
]

Najwygodniej rozwinąć wyznacznik względem pierwszego wiersza, ponieważ zawiera on zero:

[
\det(A)=
1\cdot
\begin{vmatrix}
3&1\
2&4
\end{vmatrix}

0\cdot
\begin{vmatrix}
-1&1\
0&4
\end{vmatrix}
+
2\cdot
\begin{vmatrix}
-1&3\
0&2
\end{vmatrix}.
]

Obliczamy wyznaczniki drugiego stopnia:

[
\begin{vmatrix}
3&1\
2&4
\end{vmatrix}
=3\cdot4-1\cdot2=10,
]

oraz:

[
\begin{vmatrix}
-1&3\
0&2
\end{vmatrix}
=(-1)\cdot2-3\cdot0=-2.
]

Zatem:

[
\det(A)=1\cdot10+2\cdot(-2)=10-4=6.
]

Rozwinięcie względem wiersza lub kolumny zawierającej wiele zer znacznie skraca rachunki. Wzory oparte na dopełnieniach algebraicznych są również wykorzystywane przy wyprowadzaniu wzoru na macierz odwrotną.

Jak obliczać większe wyznaczniki metodą eliminacji Gaussa?

Dla macierzy (4\times4) i większych wielokrotne rozwijanie Laplace’a może prowadzić do bardzo długich obliczeń. Często wygodniej jest przekształcić macierz do postaci trójkątnej.

Jeżeli macierz zostanie sprowadzona do postaci:

[
U=
\begin{bmatrix}
u_{11}&&&\
0&u_{22}&&\
0&0&u_{33}&\
0&0&0&u_{44}
\end{bmatrix},
]

to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej:

[
\det(U)=u_{11}u_{22}u_{33}u_{44}.
]

Podczas wykonywania operacji wierszowych trzeba jednak pamiętać, jak każda z nich wpływa na wynik.

Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego

Operacja:

[
R_j\leftarrow R_j+kR_i
]

nie zmienia wyznacznika.

Zamiana dwóch wierszy

Zamiana miejscami dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika:

[
\det(B)=-\det(A).
]

Po dwóch zamianach znak wraca do wartości początkowej.

Pomnożenie wiersza przez liczbę

Jeżeli jeden wiersz zostanie pomnożony przez liczbę (k), cały wyznacznik również zostanie pomnożony przez (k).

Jeżeli więc podczas eliminacji dzielimy wiersz przez 3, musimy uwzględnić tę zmianę przy obliczaniu końcowego wyniku.

Własności operacji wierszowych oraz fakt, że wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem elementów diagonalnych, należą do podstawowych reguł rachunku wyznaczników.

Przykład eliminacji

Obliczmy wyznacznik:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&3\
2&5&8\
1&0&2
\end{bmatrix}.
]

Wykonujemy operację:

[
R_2\leftarrow R_2-2R_1.
]

Otrzymujemy:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3\
0&1&2\
1&0&2
\end{bmatrix}.
]

Następnie:

[
R_3\leftarrow R_3-R_1,
]

czyli:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3\
0&1&2\
0&-2&-1
\end{bmatrix}.
]

Na końcu:

[
R_3\leftarrow R_3+2R_2.
]

Dostajemy macierz trójkątną:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3\
0&1&2\
0&0&3
\end{bmatrix}.
]

Wykonywaliśmy wyłącznie dodawanie wielokrotności wiersza do innego wiersza, więc wartość wyznacznika się nie zmieniła.

Mnożymy elementy głównej przekątnej:

[
\det(A)=1\cdot1\cdot3=3.
]

Najważniejsze własności wyznacznika

Znajomość właściwości wyznacznika pozwala skrócić wiele rachunków i sprawdzać poprawność wyników.

Wyznacznik macierzy jednostkowej

Dla macierzy jednostkowej:

[
\det(I_n)=1.
]

Wyznacznik macierzy transponowanej

Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika:

[
\det(A^T)=\det(A).
]

Wyznacznik iloczynu

Dla dwóch macierzy kwadratowych tego samego stopnia:

[
\det(AB)=\det(A)\det(B).
]

Nie trzeba więc najpierw mnożyć macierzy (A) i (B), aby poznać wyznacznik ich iloczynu, jeśli znamy już oba wyznaczniki.

Wyznacznik macierzy odwrotnej

Jeżeli (A^{-1}) istnieje, to:

[
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
]

Wynika to z zależności:

[
AA^{-1}=I.
]

Po zastosowaniu własności wyznacznika iloczynu otrzymujemy:

[
\det(A)\det(A^{-1})=1.
]

Wyznacznik potęgi macierzy

Dla naturalnego (k):

[
\det(A^k)=(\det(A))^k.
]

Pomnożenie całej macierzy przez liczbę

Dla macierzy stopnia (n):

[
\det(kA)=k^n\det(A).
]

Jest to ważne, ponieważ pomnożenie całej macierzy przez (k) oznacza pomnożenie każdego z jej (n) wierszy przez (k).

Dla macierzy (2\times2):

[
\det(kA)=k^2\det(A),
]

a dla macierzy (3\times3):

[
\det(kA)=k^3\det(A).
]

Dwa jednakowe wiersze lub kolumny

Jeśli dwa wiersze albo dwie kolumny są identyczne, wyznacznik wynosi zero.

Ta sama zasada obowiązuje, gdy jeden wiersz lub jedna kolumna jest wielokrotnością innego. Oznacza to liniową zależność.

Wiersz albo kolumna złożona z zer

Jeżeli cała kolumna lub cały wiersz składa się z zer, to:

[
\det(A)=0.
]

Macierz trójkątna i diagonalna

Wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem elementów na głównej przekątnej.

Przykładowo:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&4&1\
0&-3&5\
0&0&6
\end{bmatrix}.
]

Zatem:

[
\det(A)=2\cdot(-3)\cdot6=-36.
]

Podstawowe własności wyznaczników, w tym zmiana znaku po zamianie wierszy oraz zależność (\det(AB)=\det(A)\det(B)), opisują materiały MIT OpenCourseWare i OpenStax.

Czego nie wolno robić z wyznacznikami?

Nie wszystkie działania znane ze zwykłej arytmetyki mają odpowiednik w rachunku macierzowym.

Wyznacznik sumy

Na ogół nie zachodzi:

[
\det(A+B)=\det(A)+\det(B).
]

Prosty kontrprzykład można zbudować z macierzy jednostkowej stopnia drugiego:

[
A=B=I_2.
]

Wtedy:

[
\det(A)+\det(B)=1+1=2.
]

Jednocześnie:

[
A+B=2I_2,
]

więc:

[
\det(A+B)=\det(2I_2)=2^2\det(I_2)=4.
]

Otrzymujemy:

[
4\neq2.
]

Wyciąganie liczby przed wyznacznik

Dla macierzy (n\times n) liczby (k) nie można wyciągnąć przed wyznacznik bez potęgi (n):

[
\det(kA)=k^n\det(A),
]

a nie:

[
\det(kA)=k\det(A).
]

Rozwijanie Sarrusem macierzy 4×4

Dopisanie kolejnych kolumn w macierzy (4\times4) i tworzenie przekątnych nie daje poprawnego wzoru. Reguła Sarrusa dotyczy wyłącznie macierzy stopnia trzeciego.

Geometryczne znaczenie wyznacznika

Wyznacznik opisuje, jak przekształcenie liniowe skaluje pole lub objętość.

Znaczenie w dwóch wymiarach

Dla macierzy (2\times2) wartość:

[
|\det(A)|
]

informuje, ile razy zmieni się pole figury po zastosowaniu przekształcenia opisanego przez macierz (A).

Jeżeli:

[
|\det(A)|=3,
]

pole zostanie powiększone trzykrotnie.

Jeżeli:

[
|\det(A)|=\frac{1}{2},
]

pole zmniejszy się o połowę.

Jeśli:

[
\det(A)=0,
]

figura dwuwymiarowa zostanie spłaszczona do odcinka albo punktu, dlatego jej pole po przekształceniu wyniesie zero.

Znaczenie znaku wyznacznika

Dodatni wyznacznik oznacza zachowanie orientacji przestrzeni. Ujemny wskazuje, że orientacja została odwrócona, na przykład w wyniku odbicia.

Wartość bezwzględna opisuje skalę zmiany pola, natomiast znak informuje dodatkowo o orientacji.

Znaczenie w trzech wymiarach

Dla macierzy (3\times3) wartość bezwzględna wyznacznika opisuje zmianę objętości.

Jeżeli wektory tworzą krawędzie równoległościanu, jego objętość wynosi:

[
V=|\det(A)|.
]

Wyznacznik równy zero oznacza, że wektory leżą w jednej płaszczyźnie albo mają jeszcze mniejszy wymiar, więc nie tworzą bryły o dodatniej objętości. Geometryczną interpretację wyznacznika jako współczynnika zmiany pola i objętości przedstawiają materiały MIT OpenCourseWare.

Wyznacznik a macierz odwrotna

Macierz kwadratowa (A) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy:

[
\det(A)\neq0.
]

Wzór na odwrotność z użyciem macierzy dołączonej ma postać:

[
A^{-1}=
\frac{1}{\det(A)}
\operatorname{adj}(A).
]

Jeżeli wyznacznik wynosi zero, pojawiłoby się dzielenie przez zero. Nie jest to jedynie problem techniczny wzoru. Taka macierz rzeczywiście opisuje przekształcenie, którego nie można jednoznacznie odwrócić.

Dla macierzy (2\times2):

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

odwrotność ma postać:

[
A^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d&-b\
-c&a
\end{bmatrix}.
]

Warunkiem jest:

[
ad-bc\neq0.
]

Zależność między niezerowym wyznacznikiem a istnieniem macierzy odwrotnej jest jednym z podstawowych zastosowań determinantów.

Zastosowanie wyznacznika w układach równań

Wyznaczniki można wykorzystać do rozwiązywania kwadratowych układów równań liniowych za pomocą wzorów Cramera.

Rozważmy układ:

[
\begin{cases}
2x+y=7,\
x-y=2.
\end{cases}
]

Macierz współczynników ma postać:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
1&-1
\end{bmatrix}.
]

Wyznacznik główny wynosi:

[
D=
\begin{vmatrix}
2&1\
1&-1
\end{vmatrix}
=2\cdot(-1)-1\cdot1=-3.
]

Wyznacznik dla niewiadomej (x) otrzymujemy, zastępując pierwszą kolumnę wyrazami wolnymi:

[
D_x=
\begin{vmatrix}
7&1\
2&-1
\end{vmatrix}
=7\cdot(-1)-1\cdot2=-9.
]

Wyznacznik dla (y):

[
D_y=
\begin{vmatrix}
2&7\
1&2
\end{vmatrix}
=2\cdot2-7\cdot1=-3.
]

Stosujemy wzory:

[
x=\frac{D_x}{D},
\qquad
y=\frac{D_y}{D}.
]

Zatem:

[
x=\frac{-9}{-3}=3,
]

[
y=\frac{-3}{-3}=1.
]

Rozwiązaniem układu jest:

[
x=3,\qquad y=1.
]

Metoda Cramera wymaga niezerowego wyznacznika głównego. Gdy (D=0), nie można w ten sposób otrzymać jednego jednoznacznego rozwiązania. Regułę Cramera i związek wyznaczników z rozwiązywaniem układów równań opisują materiały MIT i OpenStax.

Jaką metodę obliczania wyznacznika wybrać?

Rodzaj macierzy	Najwygodniejsza metoda
(1\times1)	Odczytanie jedynego elementu
(2\times2)	Wzór (ad-bc)
(3\times3)	Reguła Sarrusa
(3\times3) z wieloma zerami	Rozwinięcie Laplace’a
(4\times4) z wierszem lub kolumną zawierającą zera	Rozwinięcie Laplace’a
Większa macierz	Eliminacja Gaussa
Macierz trójkątna	Iloczyn elementów na przekątnej
Obliczenia komputerowe	Funkcja numeryczna oparta na rozkładzie macierzy

W zadaniach wykonywanych ręcznie nie zawsze warto stosować metodę najbardziej ogólną. Najlepsza jest ta, która ogranicza liczbę mnożeń i ryzyko błędu.

Przed rozpoczęciem obliczeń warto sprawdzić, czy:

• jeden wiersz nie jest wielokrotnością innego;
• występuje wiersz lub kolumna złożona z samych zer;
• macierz jest trójkątna;
• można łatwo uzyskać zera za pomocą operacji wierszowych;
• rozwinięcie względem jednego z wierszy będzie szczególnie krótkie.

Jak obliczyć wyznacznik w Excelu?

W polskiej wersji programu Excel służy do tego funkcja:

=WYZNACZNIK.MACIERZY(tablica)

Jeżeli elementy macierzy (3\times3) znajdują się w komórkach od A1 do C3, można użyć formuły:

=WYZNACZNIK.MACIERZY(A1:C3)

Zakres musi zawierać taką samą liczbę wierszy i kolumn. Jeżeli tablica nie jest kwadratowa albo zawiera tekst, program może zwrócić błąd.

Microsoft zaznacza również, że funkcja jest obliczana z ograniczoną dokładnością numeryczną. Z tego powodu dla macierzy osobliwej lub niemal osobliwej wynik może być bardzo małą liczbą różną od dokładnego zera, na przykład rzędu (10^{-16}).

Obliczanie wyznacznika w Pythonie

W bibliotece NumPy można użyć funkcji numpy.linalg.det:

import numpy as np

A = np.array([
    [3.0, 2.0],
    [4.0, 5.0]
])

wynik = np.linalg.det(A)
print(wynik)

Wynik powinien być zbliżony do:

7.0

Ze względu na sposób przechowywania liczb zmiennoprzecinkowych program może zwrócić na przykład:

7.000000000000001

Nie musi to oznaczać błędu matematycznego.

NumPy oblicza wyznacznik za pomocą faktoryzacji LU. Dla bardzo dużych macierzy lub wyników o bardzo dużym albo małym module przydatna może być funkcja numpy.linalg.slogdet, która zwraca osobno znak wyznacznika i logarytm jego wartości bezwzględnej.

Wyznacznik bliski zeru a obliczenia numeryczne

W matematyce dokładnej warunek jest prosty:

[
\det(A)=0
]

albo:

[
\det(A)\neq0.
]

W obliczeniach komputerowych trzeba jednak uważać na błędy zaokrągleń. Wynik:

[
0{,}000000000000001
]

może być efektem niedokładności obliczeń, a nie dowodem, że macierz jest dobrze odwracalna.

Niewielki wyznacznik sam w sobie nie jest pełną miarą stabilności numerycznej, ponieważ jego skala zależy również od rozmiaru elementów macierzy. Do oceny wrażliwości układu wykorzystuje się między innymi współczynnik uwarunkowania.

W praktycznym programie nie powinno się zawsze porównywać wyniku bezpośrednio z dokładnym zerem. Należy uwzględnić skalę danych, zastosowany typ liczbowy i tolerancję odpowiednią dla problemu.

Najczęstsze błędy przy obliczaniu wyznacznika

Mylenie macierzy z wyznacznikiem

Wyznacznik jest liczbą, a nie kolejną macierzą. Wynik obliczenia powinien być pojedynczą wartością.

Stosowanie wzoru do macierzy prostokątnej

Klasyczny wyznacznik dotyczy wyłącznie macierzy kwadratowych.

Dodawanie zamiast odejmowania w macierzy 2×2

Prawidłowy wzór to:

[
ad-bc,
]

a nie:

[
ad+bc.
]

Gubienie znaków w regule Sarrusa

Trzy iloczyny dodajemy, a trzy odejmujemy. Szczególną ostrożność trzeba zachować przy liczbach ujemnych.

Błędny układ znaków dopełnień algebraicznych

Schemat zaczyna się od plusa:

[
\begin{bmatrix}
+&-&+\
-&+&-\
+&-&+
\end{bmatrix}.
]

Nieuwzględnianie zamiany wierszy

Każda zamiana dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika.

Dzielenie wiersza bez korekty wyniku

Jeżeli podczas eliminacji podzielimy wiersz przez określoną liczbę, zmieniamy wartość wyznacznika i musimy uwzględnić to w końcowym rachunku.

Uznawanie każdego niezerowego wyniku komputerowego za dokładny

Bardzo mała wartość może być skutkiem błędów numerycznych. Przy macierzach niemal osobliwych trzeba uwzględnić tolerancję i uwarunkowanie problemu.

Krótkie zadania z odpowiedziami

Zadanie 1

Oblicz:

[
\begin{vmatrix}
4&3\
2&5
\end{vmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
4\cdot5-3\cdot2=20-6=14.
]

Zadanie 2

Oblicz:

[
\begin{vmatrix}
3&6\
1&2
\end{vmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
3\cdot2-6\cdot1=6-6=0.
]

Macierz jest osobliwa.

Zadanie 3

Oblicz wyznacznik macierzy diagonalnej:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&0&0\
0&-4&0\
0&0&5
\end{bmatrix}.
]

Rozwiązanie:

[
\det(A)=2\cdot(-4)\cdot5=-40.
]

Zadanie 4

Wiadomo, że:

[
\det(A)=3,
\qquad
\det(B)=-2.
]

Oblicz:

[
\det(AB).
]

Rozwiązanie:

[
\det(AB)=\det(A)\det(B)=3\cdot(-2)=-6.
]

Zadanie 5

Macierz (A) jest stopnia trzeciego i:

[
\det(A)=4.
]

Oblicz:

[
\det(2A).
]

Ponieważ macierz ma stopień 3:

[
\det(2A)=2^3\det(A)=8\cdot4=32.
]

Wyznacznik macierzy – najważniejsze informacje

Wyznacznik macierzy jest liczbą przypisaną macierzy kwadratowej. Dla macierzy (2\times2) obliczamy go ze wzoru (ad-bc), dla macierzy (3\times3) można wykorzystać regułę Sarrusa, a przy większych macierzach najczęściej stosuje się rozwinięcie Laplace’a albo eliminację Gaussa.

Wyznacznik różny od zera oznacza, że macierz jest odwracalna i ma liniowo niezależne wiersze oraz kolumny. Wyznacznik równy zero wskazuje na macierz osobliwą. W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna wyznacznika opisuje skalę zmiany pola lub objętości, a jego znak informuje o zachowaniu albo odwróceniu orientacji.

FAQ

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 2×2?

Dla macierzy (\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}) wyznacznik wynosi (ad-bc). Należy pomnożyć elementy głównej przekątnej, a następnie odjąć iloczyn elementów drugiej przekątnej. Przykładowo dla macierzy (\begin{bmatrix}3&2\4&5\end{bmatrix}) otrzymujemy (15-8=7).

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 3×3?

Można zastosować regułę Sarrusa, rozwinięcie Laplace’a albo eliminację Gaussa. Reguła Sarrusa polega na obliczeniu sześciu iloczynów przekątnych: trzy z nich się dodaje, a trzy odejmuje. Metoda działa wyłącznie dla macierzy (3\times3) i nie może być rozszerzana wprost na większe macierze.

Co oznacza wyznacznik równy zero?

Wyznacznik równy zero oznacza, że macierz jest osobliwa i nie ma klasycznej macierzy odwrotnej. Jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne. Odpowiadające jej przekształcenie traci część informacji, a kwadratowy układ równań nie ma dokładnie jednego rozwiązania dla każdego wektora wyrazów wolnych.

Czy wyznacznik może być ujemny?

Tak. Ujemny wyznacznik nie oznacza błędu ani braku odwracalności. Macierz jest odwracalna, jeśli wynik jest różny od zera. W interpretacji geometrycznej wartość bezwzględna opisuje zmianę pola lub objętości, natomiast znak ujemny wskazuje na odwrócenie orientacji przez przekształcenie.

Czy macierz prostokątna ma wyznacznik?

Nie w klasycznym znaczeniu. Wyznacznik definiuje się dla macierzy kwadratowych, które mają taką samą liczbę wierszy i kolumn. Dla macierzy prostokątnych można obliczać wyznaczniki ich kwadratowych podmacierzy, nazywane minorami, lecz nie istnieje jeden klasyczny wyznacznik całej macierzy.

Jaki jest wyznacznik macierzy trójkątnej?

Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej lub dolnej jest równy iloczynowi elementów znajdujących się na głównej przekątnej. Nie trzeba wykonywać rozwinięcia Laplace’a ani stosować reguły Sarrusa. Jeżeli przynajmniej jeden element diagonalny wynosi zero, cały wyznacznik również jest równy zero.

Do czego służy wyznacznik macierzy?

Wyznacznik pozwala sprawdzić odwracalność macierzy, analizować liniową niezależność, rozwiązywać układy równań metodą Cramera oraz obliczać pola i objętości. Występuje także w teorii wartości własnych, równaniach różniczkowych, zmianie zmiennych w całkach i analizie przekształceń liniowych.