Odwracanie macierzy polega na wyznaczeniu takiej macierzy (A^{-1}), która po pomnożeniu przez macierz (A) daje macierz jednostkową:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Nie każdą macierz można odwrócić. Klasyczna macierz odwrotna istnieje wyłącznie dla macierzy kwadratowej i nieosobliwej, czyli takiej, której wyznacznik jest różny od zera. Równoważnie macierz musi mieć pełny rząd oraz element główny w każdym wierszu i każdej kolumnie.

Dla macierzy (2\times2) najwygodniejszy jest gotowy wzór. Większe macierze można odwracać metodą Gaussa-Jordana albo z wykorzystaniem macierzy dołączonej. W obliczeniach numerycznych stosuje się natomiast algorytmy oparte na rozkładach macierzy. MIT OpenCourseWare przedstawia eliminację Gaussa-Jordana jako podstawowy sposób wyznaczania odwrotności przez jednoczesne przekształcanie macierzy wyjściowej i jednostkowej.

Na czym polega odwracanie macierzy?

Odwracanie macierzy jest odpowiednikiem wyznaczania odwrotności liczby, ale z istotnymi różnicami wynikającymi z zasad mnożenia macierzy.

Dla liczby (a\neq0) jej odwrotnością jest:

[
a^{-1}=\frac{1}{a},
]

ponieważ:

[
a\cdot a^{-1}=1.
]

Dla macierzy rolę liczby 1 pełni macierz jednostkowa:

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}
]

lub, dla macierzy stopnia trzeciego:

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A^{-1}) musi spełniać dwa warunki:

[
AA^{-1}=I
]

oraz:

[
A^{-1}A=I.
]

Warunki zapisuje się z obu stron, ponieważ mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne. Zwykle:

[
AB\neq BA.
]

Macierz odwrotna, jeżeli istnieje, jest jednoznaczna. Nie można więc otrzymać dwóch różnych prawidłowych odwrotności tej samej macierzy.

Kiedy można odwrócić macierz?

Macierz (A) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest kwadratowa i spełnia jeden z równoważnych warunków:

• (\det(A)\neq0);
• ma pełny rząd;
• jej kolumny są liniowo niezależne;
• jej wiersze są liniowo niezależne;
• układ (Ax=0) ma wyłącznie rozwiązanie zerowe;
• dla każdego wektora (b) układ (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie;
• podczas eliminacji Gaussa powstaje element główny w każdej kolumnie;
• postać schodkowa zredukowana macierzy jest macierzą jednostkową.

Materiały MIT wskazują, że macierz kwadratowa posiadająca pełny zestaw pivotów ma odwrotność dwustronną. Z kolei otwarty podręcznik AGH przedstawia metodę Gaussa-Jordana jako sposób wyznaczania odwrotności właśnie dla macierzy spełniającej warunek odwracalności.

Dlaczego macierz musi być kwadratowa?

Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn. Klasyczna odwrotność musi dawać macierz jednostkową po pomnożeniu z lewej i z prawej strony.

Jeżeli macierz (A) ma wymiary (m\times n), a macierz (B) ma wymiary (n\times m), to:

[
AB
]

ma wymiar (m\times m), natomiast:

[
BA
]

ma wymiar (n\times n).

Gdy (m\neq n), oba iloczyny nie mogą być tą samą macierzą jednostkową. Macierze prostokątne mogą w określonych sytuacjach posiadać odwrotność lewostronną, prawostronną albo pseudoodwrotność, ale nie mają klasycznej odwrotności dwustronnej.

Dlaczego wyznacznik nie może być równy zeru?

Jeżeli:

[
\det(A)=0,
]

macierz jest osobliwa. Jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne, a opisane przez nią przekształcenie traci część informacji.

Można to wyobrazić sobie jako przekształcenie całej płaszczyzny w jedną prostą. Po takim „spłaszczeniu” wiele różnych punktów daje ten sam wynik. Nie ma więc możliwości jednoznacznego odtworzenia punktu początkowego.

Odwracanie macierzy 2×2 za pomocą wzoru

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

wyznacznik wynosi:

[
\det(A)=ad-bc.
]

Jeżeli:

[
ad-bc\neq0,
]

macierz odwrotna ma postać:

[
A^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d&-b\
-c&a
\end{bmatrix}.
]

Procedurę można zapamiętać w trzech krokach:

1. oblicz wyznacznik (ad-bc);
2. zamień miejscami elementy (a) i (d);
3. zmień znaki elementów (b) i (c), a następnie podziel całą macierz przez wyznacznik.

Przykład krok po kroku

Wyznaczmy odwrotność macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}.
]

Najpierw obliczamy wyznacznik:

[
\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
]

Wyznacznik jest różny od zera, dlatego macierz można odwrócić.

Zamieniamy miejscami elementy na głównej przekątnej:

[
2\leftrightarrow3,
]

a następnie zmieniamy znaki pozostałych elementów:

[
1\rightarrow-1,
]

[
5\rightarrow-5.
]

Otrzymujemy:

[
A^{-1}=
\frac{1}{1}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Zatem:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Sprawdzenie wyniku

Mnożymy obie macierze:

[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Po obliczeniu kolejnych elementów:

[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2\cdot3+1\cdot(-5)&2\cdot(-1)+1\cdot2\
5\cdot3+3\cdot(-5)&5\cdot(-1)+3\cdot2
\end{bmatrix}
]

[

\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Otrzymaliśmy macierz jednostkową, więc odwrotność jest prawidłowa.

Przykład macierzy 2×2, której nie można odwrócić

Rozważmy:

[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]

Wyznacznik wynosi:

[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0.
]

Macierz odwrotna nie istnieje.

Widać również, że pierwszy wiersz jest dwukrotnością drugiego. Jeden z wierszy nie wnosi więc niezależnej informacji.

Próba użycia wzoru prowadziłaby do dzielenia przez zero:

[
B^{-1}=
\frac{1}{0}
\begin{bmatrix}
2&-4\
-1&2
\end{bmatrix}.
]

Nie jest to jedynie trudność rachunkowa. Macierz rzeczywiście jest nieodwracalna.

Odwracanie macierzy metodą Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana jest uniwersalnym sposobem odwracania macierzy kwadratowych. Można stosować ją zarówno do macierzy (2\times2), jak i do macierzy wyższych stopni.

Tworzymy macierz rozszerzoną:

[
[A\mid I].
]

Po lewej stronie umieszczamy macierz, którą chcemy odwrócić, a po prawej macierz jednostkową tego samego stopnia.

Następnie wykonujemy elementarne operacje na wierszach, dążąc do postaci:

[
[A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}].
]

Gdy po lewej stronie powstanie macierz jednostkowa, po prawej znajdzie się macierz odwrotna. Jeżeli lewej strony nie można sprowadzić do macierzy jednostkowej, odwrotność nie istnieje. Taki schemat opisują zarówno materiały MIT, jak i podręcznik Open AGH.

Dozwolone operacje na wierszach

W metodzie Gaussa-Jordana można:

• zamieniać miejscami dwa wiersze;
• mnożyć cały wiersz przez liczbę różną od zera;
• dodawać do jednego wiersza wielokrotność innego wiersza.

Każdą operację trzeba wykonać na całym wierszu macierzy rozszerzonej. Nie wolno przekształcać wyłącznie lewej części, pozostawiając prawą bez zmian.

Przykład odwracania macierzy 3×3

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&0\
0&1&3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Tworzymy macierz rozszerzoną:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&3&0&1&0\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Najpierw usuwamy liczbę 3 znajdującą się nad trzecim elementem głównym:

[
R_2\leftarrow R_2-3R_3.
]

Otrzymujemy:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Następnie usuwamy liczbę 2 w pierwszym wierszu:

[
R_1\leftarrow R_1-2R_2.
]

Dostajemy:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&-2&6\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Lewa część jest macierzą jednostkową, dlatego:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&-2&6\
0&1&-3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Jak dobierać operacje w metodzie Gaussa-Jordana?

Najważniejszym celem jest utworzenie jedynek na głównej przekątnej i zer we wszystkich pozostałych miejscach.

Praktyczny schemat wygląda następująco:

1. znajdź niezerowy element, który może zostać pivotem;
2. w razie potrzeby zamień wiersze;
3. podziel wiersz tak, aby pivot był równy 1;
4. wyzeruj wszystkie pozostałe elementy w tej kolumnie;
5. przejdź do kolejnej kolumny;
6. powtarzaj, aż po lewej stronie powstanie macierz jednostkowa.

Warto wybierać operacje ograniczające powstawanie ułamków. Jeżeli w danej kolumnie występuje element równy 1 albo (-1), często opłaca się przenieść go na miejsce pivota.

Nie należy jednak za wszelką cenę unikać ułamków. Są one naturalną częścią obliczeń i nie oznaczają, że wybrano błędną metodę.

Różnica między eliminacją Gaussa a Gaussa-Jordana

Eliminacja Gaussa sprowadza macierz do postaci schodkowej. W przypadku układu równań po tym etapie wykonuje się podstawianie wsteczne.

Metoda Gaussa-Jordana prowadzi dalej, aż do zredukowanej postaci schodkowej. Elementy nad i pod każdym pivotem są zerowe, a sam pivot jest równy 1.

Przy odwracaniu macierzy potrzebujemy postaci:

[
[I\mid A^{-1}],
]

dlatego wykorzystuje się pełną redukcję Gaussa-Jordana, a nie tylko klasyczną eliminację do macierzy trójkątnej.

Metoda	Wynik po lewej stronie	Typowe zastosowanie
Eliminacja Gaussa	Postać schodkowa lub trójkątna	Rozwiązywanie układów równań
Gauss-Jordan	Zredukowana postać schodkowa	Odwracanie macierzy i pełna redukcja układu

Odwracanie macierzy za pomocą macierzy dołączonej

Drugą ogólną metodą jest wykorzystanie wzoru:

[
A^{-1}=
\frac{1}{\det(A)}
\operatorname{adj}(A),
]

gdzie (\operatorname{adj}(A)) oznacza macierz dołączoną.

Metoda wymaga:

1. obliczenia wyznacznika;
2. wyznaczenia minorów wszystkich elementów;
3. utworzenia dopełnień al