Macierz osobliwa to macierz kwadratowa, której wyznacznik jest równy zero. Nie ma ona klasycznej macierzy odwrotnej, jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne, a jej rząd jest mniejszy od stopnia macierzy. Najprościej rozpoznać ją przez obliczenie wyznacznika:

[
\det(A)=0.
]

Ten sam wniosek można uzyskać metodą eliminacji Gaussa. Jeżeli podczas sprowadzania macierzy kwadratowej do postaci schodkowej zabraknie pivotu i pojawi się zerowy wiersz, macierz nie ma pełnego rzędu, a więc jest osobliwa.

W przypadku układu równań z osobliwą macierzą współczynników nie można otrzymać dokładnie jednego rozwiązania. Układ może być sprzeczny albo mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Macierz osobliwa nie jest więc tylko szczególnym przypadkiem rachunku wyznaczników – informuje o zależności danych i utracie części informacji opisanej przez macierz.

Co to jest macierz osobliwa?

Macierz (A) nazywamy osobliwą, gdy jest kwadratowa i spełnia warunek:

[
\det(A)=0.
]

Przykładem jest macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
2&4
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik wynosi:

[
\det(A)=1\cdot4-2\cdot2=4-4=0.
]

Macierz (A) jest zatem osobliwa.

W tym przykładzie zależność można zauważyć bez wykonywania obliczeń. Drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego:

[
[2,4]=2[1,2].
]

Podobna zależność występuje między kolumnami. Druga kolumna jest dwukrotnością pierwszej:

[
\begin{bmatrix}
2\
4
\end{bmatrix}

2
\begin{bmatrix}
1\
2
\end{bmatrix}.
]

Macierz nie zawiera więc dwóch niezależnych wierszy ani dwóch niezależnych kolumn. Jej rząd wynosi 1, chociaż jest macierzą stopnia drugiego.

Macierz osobliwa bywa również nazywana:

• macierzą nieodwracalną,
• macierzą zdegenerowaną,
• macierzą o niepełnym rzędzie.

Najbardziej precyzyjne są określenia „macierz osobliwa” i „macierz nieodwracalna”. NIST definiuje macierz osobliwą jako macierz, która nie ma odwrotności i której wyznacznik jest równy zero.

Czy macierz osobliwa musi być kwadratowa?

W standardowej definicji pojęcie osobliwości dotyczy macierzy kwadratowych. Wynika to z faktu, że wyznacznik oraz klasyczna, dwustronna macierz odwrotna są definiowane dla macierzy mających tyle samo wierszy co kolumn.

Dla macierzy prostokątnej nie mówi się zwykle, że jest osobliwa. Można natomiast powiedzieć, że:

• ma pełny rząd,
• ma niepełny rząd,
• jest rzędu zredukowanego,
• jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne.

Przykładowa macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
1&2&3\
2&4&6
\end{bmatrix}
]

ma wymiar (2\times3). Nie ma wyznacznika, ponieważ nie jest kwadratowa. Jej drugi wiersz jest jednak dwukrotnością pierwszego, dlatego:

[
\operatorname{rank}(B)=1.
]

Precyzyjniej jest więc nazwać ją macierzą o niepełnym rzędzie, a nie macierzą osobliwą.

W praktyce informatycznej słowo „singular” bywa niekiedy używane szerzej wobec macierzy o niewystarczającym rzędzie. W ścisłym języku algebry liniowej warto jednak odróżniać osobliwość macierzy kwadratowej od niedoboru rzędu macierzy prostokątnej.

Macierz osobliwa a nieosobliwa – najważniejsze różnice

Macierz nieosobliwa to macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od zera:

[
\det(A)\neq0.
]

Taka macierz ma odwrotność, pełny rząd i liniowo niezależne kolumny oraz wiersze.

Właściwość	Macierz osobliwa	Macierz nieosobliwa
Wyznacznik	(\det(A)=0)	(\det(A)\neq0)
Macierz odwrotna	Nie istnieje	Istnieje
Rząd macierzy (n\times n)	Mniejszy niż (n)	Równy (n)
Kolumny	Liniowo zależne	Liniowo niezależne
Wiersze	Liniowo zależne	Liniowo niezależne
Równanie (Ax=0)	Ma rozwiązanie niezerowe	Ma tylko rozwiązanie (x=0)
Wartości własne	Co najmniej jedna wynosi 0	Żadna nie wynosi 0
Przekształcenie liniowe	Traci co najmniej jeden wymiar	Jest odwracalne

Rozważmy macierz:

[
C=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik wynosi:

[
\det(C)=1\cdot4-2\cdot3=-2.
]

Ponieważ wyznacznik jest różny od zera, macierz jest nieosobliwa i ma odwrotność.

Z kolei dla macierzy:

[
D=
\begin{bmatrix}
1&2\
2&4
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
\det(D)=0.
]

Macierz (D) jest osobliwa i nie można wyznaczyć jej klasycznej macierzy odwrotnej. Wzór na odwrotność macierzy (2\times2) zawiera wyznacznik w mianowniku, dlatego działa wyłącznie wtedy, gdy (ad-bc\neq0).

Równoważne warunki osobliwości macierzy

Dla macierzy kwadratowej (A) stopnia (n) poniższe warunki są równoważne. Jeżeli spełniony jest jeden z nich, spełnione są również pozostałe:

[
\det(A)=0;
]

[
A^{-1}\ \text{nie istnieje};
]

[
\operatorname{rank}(A)<n;
]

[
Ax=0
]

ma rozwiązanie (x\neq0);

kolumny macierzy są liniowo zależne;

wiersze macierzy są liniowo zależne;

zero jest wartością własną macierzy;

eliminacja Gaussa nie prowadzi do pivotu w każdej kolumnie;

zredukowana postać schodkowa macierzy nie jest macierzą jednostkową;

przekształcenie liniowe opisane przez macierz nie jest odwracalne.

Zależności te tworzą tak zwane twierdzenie o macierzy odwracalnej. W praktyce oznacza to, że osobliwość można wykrywać na wiele sposobów. Wyznacznik jest zwykle najwygodniejszy przy małych macierzach, natomiast eliminacja Gaussa i badanie rzędu lepiej sprawdzają się przy większych układach.

Jak sprawdzić, czy macierz jest osobliwa?

Wybór metody zależy od wymiaru macierzy, rodzaju danych i celu obliczeń. Przy małej macierzy najłatwiej obliczyć wyznacznik. Przy większej lepiej zastosować eliminację Gaussa albo rozkład SVD.

Obliczenie wyznacznika

Najbardziej bezpośrednia metoda polega na sprawdzeniu warunku:

[
\det(A)=0.
]

Jeżeli wyznacznik jest równy zero, macierz jest osobliwa. Jeśli jest różny od zera, macierz jest nieosobliwa.

Metoda jest szczególnie wygodna dla macierzy (2\times2) i (3\times3). Przy dużych macierzach ręczne obliczanie wyznacznika staje się czasochłonne i podatne na pomyłki.

Sprawdzenie rzędu macierzy

Macierz kwadratowa (n\times n) jest osobliwa, gdy:

[
\operatorname{rank}(A)<n.
]

Przykładowo macierz (4\times4) jest osobliwa, jeśli jej rząd wynosi 0, 1, 2 albo 3. Jest nieosobliwa wyłącznie wtedy, gdy jej rząd wynosi 4.

Eliminacja Gaussa

Macierz sprowadza się do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych na wierszach. Jeżeli w każdym wierszu i każdej kolumnie występuje pivot, macierz ma pełny rząd.

Jeżeli pojawi się zerowy wiersz i liczba pivotów będzie mniejsza od stopnia macierzy, jest ona osobliwa.

Sprawdzenie zależności wierszy lub kolumn

Czasami osobliwość można rozpoznać bez obliczania wyznacznika. Macierz jest osobliwa między innymi wtedy, gdy:

• dwa wiersze są identyczne,
• dwa wiersze są proporcjonalne,
• jeden wiersz jest sumą lub inną kombinacją pozostałych,
• jedna kolumna zależy liniowo od pozostałych,
• macierz zawiera zerowy wiersz lub zerową kolumnę.

Równe wiersze prowadzą do wyznacznika równego zero. Jest to jedna z podstawowych własności wyznaczników.

Sprawdzenie wartości własnych

Macierz jest osobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ma wartość własną równą zero.

Wynika to z równania charakterystycznego:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Jeżeli (\lambda=0) jest rozwiązaniem, otrzymujemy:

[
\det(A)=0.
]

Metoda ta jest szczególnie przydatna w zadaniach dotyczących wartości własnych, diagonalizacji i przekształceń liniowych.

Sprawdzenie najmniejszej wartości osobliwej

W obliczeniach numerycznych wykorzystuje się rozkład według wartości osobliwych, czyli SVD. Macierz kwadratowa jest dokładnie osobliwa, gdy jej najmniejsza wartość osobliwa wynosi zero.

Programy numeryczne zwykle nie sprawdzają jednak ścisłej równości z zerem. Porównują wartości osobliwe z przyjętą tolerancją. NumPy oblicza rząd jako liczbę wartości osobliwych większych od określonego progu.

Jak sprawdzić osobliwość macierzy 2 × 2?

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

wyznacznik wynosi:

[
\det(A)=ad-bc.
]

Macierz jest osobliwa, gdy:

[
ad-bc=0.
]

Oznacza to równoważnie:

[
ad=bc.
]

Przykład macierzy osobliwej 2 × 2

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&6\
2&4
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy:

[
\det(A)=3\cdot4-6\cdot2=12-12=0.
]

Macierz jest osobliwa.

Widać również, że druga kolumna jest dwukrotnością pierwszej:

[
\begin{bmatrix}
6\
4
\end{bmatrix}

2
\begin{bmatrix}
3\
2
\end{bmatrix}.
]

Przykład macierzy nieosobliwej 2 × 2

Dla:

[
B=
\begin{bmatrix}
3&6\
2&5
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
\det(B)=3\cdot5-6\cdot2=15-12=3.
]

Ponieważ:

[
\det(B)\neq0,
]

macierz jest nieosobliwa.

Jak sprawdzić osobliwość macierzy 3 × 3?

Dla macierzy (3\times3) można obliczyć wyznacznik metodą Sarrusa, rozwinięciem Laplace’a lub przez sprowadzenie macierzy do postaci trójkątnej.

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&3\
2&4&6\
0&1&1
\end{bmatrix}.
]

Drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego:

[
W_2=2W_1.
]

Wiersze są liniowo zależne, dlatego:

[
\det(A)=0.
]

Macierz jest osobliwa.

Można to również sprawdzić za pomocą eliminacji Gaussa:

[
W_2\leftarrow W_2-2W_1.
]

Otrzymujemy:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3\
0&0&0\
0&1&1
\end{bmatrix}.
]

Po zamianie drugiego i trzeciego wiersza postać schodkowa wygląda następująco:

[
\begin{bmatrix}
1&2&3\
0&1&1\
0&0&0
\end{bmatrix}.
]

Macierz ma dwa pivoty, więc:

[
\operatorname{rank}(A)=2.
]

Ponieważ macierz jest stopn