Macierz nieosobliwa – co to jest, jak ją rozpoznać i jakie ma właściwości?
Macierz nieosobliwa to macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od zera. Oznacza to, że posiada dokładnie jedną macierz odwrotną, ma pełny rząd, a jej wiersze i kolumny są liniowo niezależne. Najprostszy sposób sprawdzenia nieosobliwości polega więc na obliczeniu:
[
\det(A).
]
Jeżeli:
[
\det(A)\neq 0,
]
macierz jest nieosobliwa. Równoważnie można sprawdzić jej rząd, wykonać eliminację Gaussa albo zbadać rozwiązania równania (Ax=0). Dla macierzy (n\times n) pełny zestaw (n) pivotów oznacza, że macierz jest odwracalna i nieosobliwa.
Co to jest macierz nieosobliwa?
Macierz (A) nazywa się nieosobliwą, gdy jest kwadratowa i spełnia warunek:
[
\det(A)\neq 0.
]
Przykładem jest macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}.
]
Jej wyznacznik wynosi:
[
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2.
]
Ponieważ:
[
-2\neq0,
]
macierz (A) jest nieosobliwa.
Pojęcie to jest równoważne odwracalności. O macierzy nieosobliwej można więc również powiedzieć, że jest:
- odwracalna,
- regularna,
- niezdegenerowana,
- macierzą pełnego rzędu.
W polskich materiałach matematycznych najczęściej spotyka się określenia „macierz nieosobliwa” i „macierz odwracalna”. W literaturze anglojęzycznej używa się nazw „nonsingular matrix” oraz „invertible matrix”.
Dla macierzy kwadratowej (A) stopnia (n) istnieje wtedy dokładnie jedna macierz (A^{-1}), która spełnia:
[
AA^{-1}=A^{-1}A=I_n,
]
gdzie (I_n) oznacza macierz jednostkową stopnia (n). Definicja odwracalności i warunek niezerowego wyznacznika są równoważne dla macierzy nad liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi.
Czy macierz nieosobliwa musi być kwadratowa?
Tak. W standardowym ujęciu algebry liniowej pojęcie macierzy nieosobliwej odnosi się do macierzy kwadratowych, czyli mających tyle samo wierszy co kolumn.
Wynika to z dwóch powodów:
- wyznacznik definiuje się dla macierzy kwadratowych,
- klasyczna macierz odwrotna jest dwustronną odwrotnością macierzy kwadratowej.
Macierz prostokątna może mieć pełny rząd wierszowy albo kolumnowy, ale nie ma klasycznej dwustronnej odwrotności. Nie określa się jej więc zazwyczaj jako nieosobliwej.
Przykładowo macierz:
[
B=
\begin{bmatrix}
1&0&2\
0&1&3
\end{bmatrix}
]
ma wymiar (2\times3). Jej dwa wiersze są liniowo niezależne, dlatego ma pełny rząd wierszowy:
[
\operatorname{rank}(B)=2.
]
Nie jest jednak macierzą nieosobliwą w ścisłym znaczeniu, ponieważ nie jest kwadratowa i nie ma wyznacznika.
W odniesieniu do macierzy prostokątnych lepiej mówić o pełnym lub niepełnym rzędzie. Macierz kwadratowa jest natomiast nieosobliwa dokładnie wtedy, gdy jej rząd jest równy liczbie wierszy i kolumn.
Jak sprawdzić, czy macierz jest nieosobliwa?
Nieosobliwość można potwierdzić na kilka równoważnych sposobów. Wybór metody zależy od rozmiaru macierzy i rodzaju zadania.
Obliczenie wyznacznika
Najbardziej bezpośredni test ma postać:
[
\det(A)\neq0.
]
Jeżeli wyznacznik jest różny od zera, macierz jest nieosobliwa. Gdy wyznacznik wynosi zero, macierz jest osobliwa.
Metoda ta jest szczególnie wygodna w przypadku macierzy (2\times2) i (3\times3). Dla większych macierzy często łatwiejsza okazuje się eliminacja Gaussa.
Sprawdzenie rzędu
Dla macierzy (A) stopnia (n):
[
A\text{ jest nieosobliwa}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\operatorname{rank}(A)=n.
]
Oznacza to, że macierz ma maksymalną możliwą liczbę liniowo niezależnych wierszy i kolumn.
Przykładowo macierz (4\times4) jest nieosobliwa, jeśli jej rząd wynosi 4. Gdy rząd wynosi 3 lub mniej, macierz jest osobliwa.
Eliminacja Gaussa
Macierz można sprowadzić do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych na wierszach. Jeżeli powstaną pivoty w każdym wierszu i każdej kolumnie, macierz ma pełny rząd i jest nieosobliwa.
Jej zredukowana postać schodkowa będzie wtedy macierzą jednostkową:
[
\operatorname{RREF}(A)=I_n.
]
Jeżeli w postaci schodkowej pojawi się zerowy wiersz, liczba pivotów będzie mniejsza od (n), co oznacza osobliwość. Równoważność odwracalności, pełnego zestawu pivotów i zredukowanej postaci schodkowej równej (I_n) jest jednym z warunków twierdzenia o macierzy odwracalnej.
Sprawdzenie równania jednorodnego
Należy rozważyć równanie:
[
Ax=0.
]
Jeżeli jedynym rozwiązaniem jest:
[
x=0,
]
macierz kwadratowa (A) jest nieosobliwa.
Jeżeli istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie niezerowe, kolumny macierzy są liniowo zależne, a macierz jest osobliwa.
Sprawdzenie wartości własnych
Macierz jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy żadna z jej wartości własnych nie jest równa zero.
Jeżeli liczby:
[
\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n
]
są wartościami własnymi macierzy (A), to:
[
\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.
]
Wystąpienie wartości własnej równej zero powoduje wyzerowanie iloczynu, a więc osobliwość macierzy.
Sprawdzenie wartości osobliwych
W obliczeniach numerycznych można wykorzystać rozkład SVD. Kwadratowa macierz jest nieosobliwa, gdy wszystkie jej wartości osobliwe są dodatnie.
Jeżeli najmniejsza wartość osobliwa wynosi zero, macierz jest osobliwa. Jeżeli jest bardzo mała w porównaniu z największą, macierz może być formalnie odwracalna, lecz źle uwarunkowana.
Warunki równoważne nieosobliwości macierzy
Dla kwadratowej macierzy (A) stopnia (n) następujące stwierdzenia są równoważne:
- (A) jest nieosobliwa.
- (A) jest odwracalna.
- (\det(A)\neq0).
- (\operatorname{rank}(A)=n).
- Macierz ma (n) pivotów.
- Zredukowana postać schodkowa (A) jest równa (I_n).
- Kolumny macierzy są liniowo niezależne.
- Wiersze macierzy są liniowo niezależne.
- Kolumny macierzy tworzą bazę przestrzeni (\mathbb{R}^n).
- Równanie (Ax=0) ma wyłącznie rozwiązanie zerowe.
- Równanie (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego (b\in\mathbb{R}^n).
- Przekształcenie (x\mapsto Ax) jest różnowartościowe.
- Przekształcenie (x\mapsto Ax) jest „na” (\mathbb{R}^n).
- Zero nie jest wartością własną macierzy.
- Wszystkie wartości osobliwe macierzy są dodatnie.
Wystarczy potwierdzić jeden z tych warunków, aby wnioskować, że pozostałe również są spełnione. Jest to praktycznie użyteczne, ponieważ w jednym zadaniu najłatwiej obliczyć wyznacznik, a w innym szybciej zauważyć niezależność kolumn albo pełny zestaw pivotów.
Jak sprawdzić macierz nieosobliwą 2 × 2?
Dla macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]
wyznacznik ma postać:
[
\det(A)=ad-bc.
]
Macierz jest nieosobliwa, jeżeli:
[
ad-bc\neq0.
]
Przykład macierzy nieosobliwej
Rozważmy:
[
A=
\begin{bmatrix}
2&3\
1&4
\end{bmatrix}.
]
Obliczamy wyznacznik:
[
\det(A)=2\cdot4-3\cdot1=8-3=5.
]
Ponieważ:
[
5\neq0,
]
macierz jest nieosobliwa.
Można również wyznaczyć jej odwrotność:
[
A^{-1}
\frac{1}{5}
\begin{bmatrix}
4&-3\
-1&2
\end{bmatrix}.
]
Sprawdzenie polega na pomnożeniu:
[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]
Przykład macierzy osobliwej
Dla porównania weźmy:
[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]
Jej wyznacznik wynosi:
[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=0.
]
Macierz nie jest nieosobliwa. Druga kolumna jest dwukrotnością pierwszej, dlatego kolumny są liniowo zależne.
Jak sprawdzić macierz nieosobliwą 3 × 3?
Rozważmy macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&0\
0&1&3\
2&1&1
\end{bmatrix}.
]
Obliczamy wyznacznik przez rozwinięcie względem pierwszego wiersza:
[
\det(A)
1\cdot
\begin{vmatrix}
1&3\
1&1
\end{vmatrix}
2\cdot
\begin{vmatrix}
0&3\
2&1
\end{vmatrix}.
]
Pierwszy minor wynosi:
[
1\cdot1-3\cdot1=-2.
]
Drugi minor:
[
0\cdot1-3\cdot2=-6.
]
Zatem:
[
\det(A)=-2-2(-6)=-2+12=10.
]
Ponieważ:
[
10\neq0,
]
macierz jest nieosobliwa.
Można wyciągnąć z tego kilka dodatkowych wniosków:
[
\operatorname{rank}(A)=3,
]
[
A^{-1}\text{ istnieje},
]
równanie (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego (b\in\mathbb{R}^3), a zero nie jest wartością własną macierzy.
Jak sprawdzić nieosobliwość metodą Gaussa?
Rozważmy macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&1\
0&1&3\
2&5&7
\end{bmatrix}.
]
Wykonujemy operację:
[
W_3\leftarrow W_3-2W_1.
]
Otrzymujemy:
[
\begin{bmatrix}
1&2&1\
0&1&3\
0&1&5
\end{bmatrix}.
]
Następnie:
[
W_3\leftarrow W_3-W_2.
]
Macierz przyjmuje postać:
[
\begin{bmatrix}
1&2&1\
0&1&3\
0&0&2
\end{bmatrix}.
]
Występują trzy niezerowe pivoty:
[
1,\quad1,\quad2.
]
Macierz ma więc pełny rząd:
[
\operatorname{rank}(A)=3.
]
Jest nieosobliwa.
W przypadku macierzy trójkątnej wyznacznik jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej. Dla otrzymanej macierzy:
[
\det(A)=1\cdot1\cdot2=2.
]
Operacja dodania wielokrotności jednego wiersza do drugiego nie zmienia wyznacznika, dlatego jest to również wyznacznik macierzy wyjściowej.
Macierz nieosobliwa z parametrem
W zadaniach z parametrem należy znaleźć wartości, dla których wyznacznik jest różny od zera.
Rozważmy:
[
A(t)=
\begin{bmatrix}
t&1\
2&t
\end{bmatrix}.
]
Wyznacznik wynosi:
[
\det A(t)=t^2-2.
]
Macierz jest nieosobliwa, gdy: