Dodawanie macierzy polega na sumowaniu elementów znajdujących się na tych samych pozycjach. Jeżeli dwie macierze mają identyczne wymiary, dodajemy element z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny pierwszej macierzy do elementu z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny drugiej macierzy, a następnie postępujemy tak samo z pozostałymi liczbami.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5&6\
7&8
\end{bmatrix}
]

ich suma wynosi:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
1+5&2+6\
3+7&4+8
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
6&8\
10&12
\end{bmatrix}.
]

Warunkiem wykonania działania jest zgodność wymiarów. Nie można w klasyczny sposób dodać macierzy (2\times2) do macierzy (2\times3), ponieważ nie wszystkim elementom jednej z nich odpowiadają elementy w drugiej. Wynik dodawania ma zawsze takie same wymiary jak składniki.

Na czym polega dodawanie macierzy?

Macierz jest prostokątną tablicą liczb uporządkowanych w wierszach i kolumnach. Jeżeli macierz ma (m) wierszy oraz (n) kolumn, określamy jej wymiar jako:

[
m\times n.
]

Dwie macierze można dodać, gdy mają:

• tę samą liczbę wierszy;
• tę samą liczbę kolumn;
• elementy należące do zbioru, w którym dodawanie jest określone, na przykład liczby rzeczywiste lub zespolone.

Nie jest natomiast wymagane, aby były kwadratowe. Można dodawać macierze (2\times3), (4\times1), (3\times5) oraz dowolne inne, pod warunkiem że oba składniki mają ten sam wymiar.

Jeżeli:

[
A=[a_{ij}]_{m\times n}
]

oraz:

[
B=[b_{ij}]_{m\times n},
]

to ich sumę definiujemy jako:

[
A+B=[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}.
]

Symbol (a_{ij}) oznacza element macierzy (A) znajdujący się w (i)-tym wierszu oraz (j)-tej kolumnie. Element wyniku położony w tym samym miejscu otrzymujemy według wzoru:

[
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}.
]

Dodawanie odbywa się więc element po elemencie, a nie przez mnożenie wierszy przez kolumny.

Jak dodawać macierze krok po kroku?

Procedura jest taka sama niezależnie od tego, czy macierz ma cztery, sześć czy kilkadziesiąt elementów.

Krok 1: sprawdź wymiary

Najpierw policz wiersze i kolumny obu macierzy.

Jeżeli:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n}
]

oraz:

[
B\in\mathbb{R}^{m\times n},
]

działanie (A+B) jest określone.

Jeżeli natomiast:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n},
\qquad
B\in\mathbb{R}^{p\times q}
]

i przynajmniej jeden z warunków (m=p) lub (n=q) nie jest spełniony, klasyczne dodawanie macierzy nie jest możliwe.

Krok 2: ustaw odpowiadające sobie elementy

Element w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie pierwszej macierzy trzeba dodać do elementu w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie drugiej macierzy.

Nie wolno zmieniać kolejności wierszy ani kolumn tylko dlatego, że ułatwiłoby to rachunki.

Krok 3: wykonaj zwykłe dodawanie liczb

Każdą parę odpowiadających sobie elementów dodajemy zgodnie z zasadami arytmetyki.

Należy szczególnie uważać na:

• liczby ujemne;
• ułamki;
• liczby zespolone;
• wyrażenia zawierające niewiadome;
• znaki zapisane przed nawiasami.

Krok 4: zapisz wynik w macierzy o tych samych wymiarach

Jeżeli składniki mają wymiar (3\times2), wynik również musi mieć trzy wiersze i dwie kolumny.

Krok 5: sprawdź wybrane elementy

W większym zadaniu warto ponownie obliczyć przynajmniej jeden element z każdego wiersza. Pozwala to wychwycić błędne przepisanie liczby lub dodanie elementów z różnych pozycji.

Dodawanie macierzy 2×2 – przykład

Rozważmy macierze:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&-2\
5&1
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
4&6\
-3&7
\end{bmatrix}.
]

Obie mają dwa wiersze i dwie kolumny, dlatego można je dodać.

Tworzymy macierz wynikową:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
3+4&-2+6\
5+(-3)&1+7
\end{bmatrix}.
]

Po wykonaniu działań otrzymujemy:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
7&4\
2&8
\end{bmatrix}.
]

W lewym dolnym polu trzeba było obliczyć:

[
5+(-3)=2.
]

Częstym błędem jest pominięcie nawiasu i potraktowanie tego działania jak (5-(-3)), co dałoby nieprawidłowy wynik.

Dodawanie macierzy prostokątnych

Macierze nie muszą być kwadratowe. Dodajmy dwie macierze o wymiarach (2\times3):

[
A=
\begin{bmatrix}
1&4&-2\
3&0&5
\end{bmatrix},
]

[
B=
\begin{bmatrix}
7&-1&6\
2&8&-5
\end{bmatrix}.
]

Dodajemy odpowiadające sobie elementy:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
1+7&4+(-1)&-2+6\
3+2&0+8&5+(-5)
\end{bmatrix}.
]

Wynik:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
8&3&4\
5&8&0
\end{bmatrix}.
]

Suma ma wymiar (2\times3), identyczny jak obie macierze początkowe.

Czy można dodać macierze o różnych wymiarach?

W klasycznej algebrze macierzy nie można dodawać macierzy o różnych wymiarach.

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5&6&7\
8&9&10
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A) ma wymiar (2\times2), natomiast (B) ma wymiar (2\times3). W pierwszych dwóch kolumnach można byłoby wskazać odpowiadające sobie elementy, ale trzecią kolumnę ma wyłącznie macierz (B).

Działanie:

[
A+B
]

nie jest więc określone. Zapisanie wyniku przez pominięcie dodatkowej kolumny albo dopisanie zer zmieniałoby dane wejściowe i nie byłoby zwykłym dodawaniem macierzy. Zgodność całego wymiaru, a nie tylko liczby wierszy lub kolumn, jest warunkiem wykonania działania.

Czy można najpierw uzupełnić mniejszą macierz zerami?

Można świadomie zbudować nową macierz przez dopisanie wiersza lub kolumny zer, ale nie jest to automatyczna część dodawania.

Przykładowo z macierzy (2\times2) można utworzyć macierz (2\times3):

[
\begin{bmatrix}
1&2&0\
3&4&0
\end{bmatrix}.
]

Dopiero tę nową macierz można dodać do innej macierzy (2\times3). Takie rozszerzenie musi jednak wynikać z sensu problemu. Dopisane zera mogą oznaczać brak wartości w nowej kategorii, ale w innym zastosowaniu mogą całkowicie zniekształcić dane.

Dodawanie więcej niż dwóch macierzy

Można dodawać dowolną liczbę macierzy, jeśli wszystkie mają te same wymiary.

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix},
]

[
B=
\begin{bmatrix}
2&0\
-1&5
\end{bmatrix},
]

[
C=
\begin{bmatrix}
4&-2\
6&1
\end{bmatrix}.
]

Wtedy:

[
A+B+C=
\begin{bmatrix}
1+2+4&2+0+(-2)\
3+(-1)+6&4+5+1
\end{bmatrix}.
]

Otrzymujemy:

[
A+B+C=
\begin{bmatrix}
7&0\
8&10
\end{bmatrix}.
]

Można najpierw obliczyć (A+B), a później dodać (C), albo rozpocząć od (B+C). Wynik będzie taki sam dzięki łączności dodawania.

Najważniejsze własności dodawania macierzy

Macierze o ustalonym wymiarze zachowują się przy dodawaniu podobnie jak liczby i wektory.

Przemienność

Dla macierzy (A) i (B) o tych samych wymiarach:

[
A+B=B+A.
]

Własność wynika z przemienności dodawania liczb:

[
a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}.
]

Kolejność składników nie zmienia wyniku.

Łączność

Dla macierzy (A), (B) i (C) o jednakowych wymiarach:

[
(A+B)+C=A+(B+C).
]

Można więc zmieniać sposób grupowania składników bez zmiany rezultatu.

Istnienie macierzy zerowej

Macierz zerowa zawiera same zera. Dla wymiaru (2\times2) ma postać:

[
0=
\begin{bmatrix}
0&0\
0&0
\end{bmatrix}.
]

Dla każdej macierzy (A) o tym samym wymiarze:

[
A+0=0+A=A.
]

Macierz zerowa pełni przy dodawaniu rolę podobną do liczby zero.

Istnienie macierzy przeciwnej

Macierz przeciwna do (A), oznaczana jako (-A), powstaje przez zmianę znaku każdego elementu.

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&-3\
4&1
\end{bmatrix},
]

to:

[
-A=
\begin{bmatrix}
-2&3\
-4&-1
\end{bmatrix}.
]

Zachodzi:

[
A+(-A)=0.
]

Prawo skracania

Jeżeli:

[
A+B=A+C,
]

to:

[
B=C.
]

Można odjąć macierz (A) od obu stron równania, podobnie jak w zwykłej algebrze.

Zgodność z transpozycją

Transpozycja zamienia wiersze macierzy na kolumny. Dla sumy zachodzi:

[
(A+B)^T=A^T+B^T.
]

Można więc najpierw dodać macierze i przetransponować wynik albo najpierw przetransponować składniki, a później je dodać.

Rozdzielność mnożenia przez skalar

Dla liczby (k):

[
k(A+B)=kA+kB.
]

Zachodzi również:

[
(k+l)A=kA+lA.
]

Własności przemienności, łączności, elementu zerowego i macierzy przeciwnej wynikają bezpośrednio z wykonywania działania na odpowiadających sobie elementach.

Dodawanie a odejmowanie macierzy

Odejmowanie wykonuje się na tych samych zasadach co dodawanie. Macierze muszą mieć identyczne wymiary, a działanie przeprowadza się element po elemencie.

Jeżeli:

[
A=[a_{ij}]
]

i:

[
B=[b_{ij}],
]

to:

[
A-B=[a_{ij}-b_{ij}].
]

Odejmowanie można również potraktować jako dodawanie macierzy przeciwnej:

[
A-B=A+(-B).
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
5&2\
1&7
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3&-4\
6&2
\end{bmatrix}.
]

Wtedy:

[
A-B=
\begin{bmatrix}
5-3&2-(-4)\
1-6&7-2
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2&6\
-5&5
\end{bmatrix}.
]

Trzeba uważać zwłaszcza na ode