Macierz odwrotna – co to jest, kiedy istnieje i jak ją obliczyć?
Macierz odwrotna do macierzy (A) to taka macierz (A^{-1}), której pomnożenie przez (A) daje macierz jednostkową:
[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]
Można ją porównać do odwrotności liczby. Dla liczby (a\neq 0) zachodzi (a\cdot \frac{1}{a}=1). W przypadku macierzy rolę liczby 1 pełni macierz jednostkowa (I). Nie każda macierz ma jednak odwrotność. Macierz odwrotna istnieje tylko dla macierzy kwadratowej i nieosobliwej, czyli takiej, której wyznacznik jest różny od zera.
Dla macierzy (2\times2) można zastosować prosty wzór. Większe macierze najczęściej odwraca się metodą Gaussa-Jordana albo za pomocą macierzy dołączonej. Poprawność wyniku sprawdza się przez pomnożenie otrzymanej macierzy przez macierz wyjściową. Jeżeli wynikiem jest macierz jednostkowa, obliczenia są prawidłowe.
Co to jest macierz odwrotna?
Niech (A) będzie macierzą kwadratową stopnia (n). Macierzą odwrotną do (A) nazywamy macierz (A^{-1}), która spełnia warunki:
[
AA^{-1}=I_n
]
oraz:
[
A^{-1}A=I_n,
]
gdzie (I_n) oznacza macierz jednostkową stopnia (n).
Przykładowo macierz jednostkowa stopnia drugiego ma postać:
[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix},
]
a stopnia trzeciego:
[
I_3=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]
Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy podobną funkcję jak liczba 1 w zwykłym mnożeniu:
[
AI=IA=A.
]
Macierz odwrotna „cofa” działanie opisane przez macierz (A). Jeżeli macierz reprezentuje odwracalne przekształcenie liniowe, jej odwrotność przywraca wektor do wcześniejszego położenia. Definicja wymaga spełnienia warunku z obu stron, ponieważ mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.
Kiedy istnieje macierz odwrotna?
Macierz (A) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa podstawowe warunki:
- jest macierzą kwadratową;
- jej wyznacznik jest różny od zera.
Zapisujemy to następująco:
[
A^{-1}\text{ istnieje}\iff \det(A)\neq 0.
]
Jeżeli:
[
\det(A)=0,
]
macierz jest osobliwa i nie można jej odwrócić.
Dlaczego macierz musi być kwadratowa?
Dla macierzy (A) o wymiarach (m\times n) i macierzy (B) o wymiarach (n\times m) iloczyny (AB) oraz (BA) mają różne wymiary:
[
AB\in \mathbb{R}^{m\times m},
]
[
BA\in \mathbb{R}^{n\times n}.
]
Aby oba iloczyny mogły być odpowiednią macierzą jednostkową tego samego stopnia, liczba wierszy i kolumn macierzy (A) musi być jednakowa.
Dla niektórych macierzy prostokątnych można wyznaczyć odwrotność lewostronną, prawostronną albo pseudoodwrotność, lecz nie są one klasyczną macierzą odwrotną.
Dlaczego wyznacznik nie może wynosić zero?
Wyznacznik równy zeru oznacza, że przekształcenie opisane przez macierz powoduje utratę co najmniej jednego wymiaru informacji. Przykładowo może przekształcić całą płaszczyznę w prostą. Takiego działania nie da się jednoznacznie cofnąć, ponieważ wiele różnych wektorów może prowadzić do tego samego wyniku.
Warunek niezerowego wyznacznika jest równoważny odwracalności macierzy kwadratowej.
Równoważne warunki odwracalności macierzy
Dla macierzy kwadratowej (A) stopnia (n) następujące stwierdzenia są równoważne:
- istnieje macierz (A^{-1});
- (\det(A)\neq 0);
- macierz (A) ma pełny rząd równy (n);
- kolumny macierzy są liniowo niezależne;
- wiersze macierzy są liniowo niezależne;
- równanie (Ax=0) ma tylko rozwiązanie zerowe;
- układ (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego wektora (b);
- postać schodkowa zredukowana macierzy (A) jest macierzą jednostkową;
- zero nie jest wartością własną macierzy (A).
W praktycznych zadaniach najczęściej sprawdza się wyznacznik albo przeprowadza eliminację Gaussa. Jeżeli podczas redukcji nie można uzyskać elementu głównego w każdej kolumnie, macierz nie ma odwrotności.
Wzór na macierz odwrotną 2×2
Dla macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]
wyznacznik wynosi:
[
\det(A)=ad-bc.
]
Jeżeli (ad-bc\neq 0), macierz odwrotna ma postać:
[
A^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d&-b\
-c&a
\end{bmatrix}.
]
Aby zapamiętać ten wzór:
- zamień miejscami elementy (a) i (d);
- zmień znaki elementów (b) i (c);
- całą macierz pomnóż przez odwrotność wyznacznika.
Wzór ten obowiązuje wyłącznie wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.
Przykład obliczania macierzy odwrotnej 2×2
Wyznaczmy odwrotność macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}.
]
Najpierw obliczamy wyznacznik:
[
\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
]
Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz odwrotna istnieje.
Zamieniamy miejscami elementy na głównej przekątnej:
[
2\leftrightarrow3,
]
oraz zmieniamy znaki pozostałych elementów:
[
1\rightarrow-1,\qquad 5\rightarrow-5.
]
Otrzymujemy:
[
A^{-1}=
\frac{1}{1}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]
Zatem:
[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]
Jak sprawdzić wynik?
Mnożymy macierz (A) przez otrzymaną odwrotność:
[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]
Po wykonaniu mnożenia:
[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2\cdot3+1\cdot(-5)&2\cdot(-1)+1\cdot2\
5\cdot3+3\cdot(-5)&5\cdot(-1)+3\cdot2
\end{bmatrix}
]
[
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]
Wynikiem jest macierz jednostkowa, więc obliczenia są prawidłowe.
Przykład macierzy, która nie ma odwrotności
Rozważmy macierz:
[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]
Jej wyznacznik wynosi:
[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0.
]
Macierz odwrotna nie istnieje.
W tym przykładzie drugi wiersz jest równy połowie pierwszego. Wiersze nie są więc liniowo niezależne. Informacje zapisane w jednym z nich powtarzają zależność występującą w drugim, dlatego przekształcenia nie można jednoznacznie odwrócić.
Próba zastosowania wzoru dla macierzy (2\times2) prowadziłaby do dzielenia przez zero:
[
B^{-1}=
\frac{1}{0}
\begin{bmatrix}
2&-4\
-1&2
\end{bmatrix},
]
a takie działanie nie jest określone.
Jak obliczyć macierz odwrotną metodą Gaussa-Jordana?
Metoda Gaussa-Jordana jest uniwersalnym sposobem wyznaczania odwrotności macierzy kwadratowych różnych rozmiarów.
Tworzymy macierz rozszerzoną:
[
[A\mid I],
]
czyli po lewej stronie zapisujemy macierz (A), a po prawej macierz jednostkową tego samego stopnia.
Następnie wykonujemy elementarne operacje na wierszach, aż lewa część zostanie przekształcona w macierz jednostkową:
[
[A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}].
]
Dozwolone są trzy rodzaje operacji:
- zamiana miejscami dwóch wierszy;
- pomnożenie całego wiersza przez liczbę różną od zera;
- dodanie do jednego wiersza wielokrotności innego wiersza.
Jeżeli lewej strony nie da się przekształcić w macierz jednostkową, odwrotność nie istnieje. Schemat ([A\mid I]\rightarrow[I\mid A^{-1}]) wynika bezpośrednio z eliminacji Gaussa-Jordana.
Przykład dla macierzy 3×3
Wyznaczmy macierz odwrotną do:
[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&0\
0&1&3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]
Tworzymy macierz rozszerzoną:
[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&3&0&1&0\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]
Najpierw usuwamy liczbę 3 z drugiego wiersza:
[
R_2\leftarrow R_2-3R_3.
]
Otrzymujemy:
[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]
Następnie usuwamy liczbę 2 z pierwszego wiersza:
[
R_1\leftarrow R_1-2R_2.
]
Dostajemy:
[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&-2&6\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]
Lewa część jest już macierzą jednostkową. Prawa część stanowi poszukiwaną odwrotność:
[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&-2&6\
0&1&-3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]
Co się dzieje, gdy macierz jest osobliwa?
Jeżeli podczas redukcji po lewej stronie pojawi się wiersz zerowy i nie będzie możliwe uzyskanie macierzy jednostkowej, macierz jest nieodwracalna.
Przykładowa końcowa postać może wyglądać tak:
[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&2&\cdots\
0&1&-1&\cdots\
0&0&0&\cdots
\end{array}
\right].
]
Brak trzeciego elementu głównego oznacza, że rząd macierzy jest mniejszy od jej stopnia. Macierz odwrotna nie istnieje.
Obliczanie odwrotności za pomocą macierzy dołączonej
Dla odwracalnej macierzy kwadratowej można zastosować wzór:
[
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
]
gdzie (\operatorname{adj}(A)) oznacza macierz dołączoną.
Aby ją otrzymać, należy:
- obliczyć minor każdego elementu;
- wyznaczyć dopełnienia algebraiczne;
- zbudować macierz dopełnień algebraicznych;
- przetransponować tę macierz;
- pomnożyć wynik przez (\frac{1}{\det(A)}).
Dopełnienie algebraiczne elementu (a_{ij}) ma postać:
[
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
]
gdzie (M_{ij}) jest minorem powstałym po usunięciu (i)-tego wiersza oraz (j)-tej kolumny.
Macierz dołączona jest transpozycją macierzy dopełnień:
[
\operatorname{adj}(A)=C^T.
]
Metoda ta ma duże znaczenie teoretyczne i dobrze sprawdza się w niewielkich zadaniach wykonywanych ręcznie. Dla dużych macierzy wymaga jednak wielu obliczeń i nie jest najbardziej efektywnym algorytmem numerycznym.
Którą metodę obliczania wybrać?
| Rodzaj zadania | Najwygodniejsza metoda |
|---|---|
| Macierz (1\times1) | Odwrotność pojedynczego elementu |
| Macierz (2\times2) | Bezpośredni wzór |
| Macierz (3\times3) liczona ręcznie | Gauss-Jordan lub macierz dołączona |
| Większa macierz liczona ręcznie | Gauss-Jordan |
| Obliczenia komputerowe | Algorytmy oparte na rozkładach macierzy |
| Rozwiązanie jednego układu (Ax=b) | Bezpośrednie rozwiązanie układu bez tworzenia (A^{-1}) |