Macierz odwrotna do macierzy (A) to taka macierz (A^{-1}), której pomnożenie przez (A) daje macierz jednostkową:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Można ją porównać do odwrotności liczby. Dla liczby (a\neq 0) zachodzi (a\cdot \frac{1}{a}=1). W przypadku macierzy rolę liczby 1 pełni macierz jednostkowa (I). Nie każda macierz ma jednak odwrotność. Macierz odwrotna istnieje tylko dla macierzy kwadratowej i nieosobliwej, czyli takiej, której wyznacznik jest różny od zera.

Dla macierzy (2\times2) można zastosować prosty wzór. Większe macierze najczęściej odwraca się metodą Gaussa-Jordana albo za pomocą macierzy dołączonej. Poprawność wyniku sprawdza się przez pomnożenie otrzymanej macierzy przez macierz wyjściową. Jeżeli wynikiem jest macierz jednostkowa, obliczenia są prawidłowe.

Co to jest macierz odwrotna?

Niech (A) będzie macierzą kwadratową stopnia (n). Macierzą odwrotną do (A) nazywamy macierz (A^{-1}), która spełnia warunki:

[
AA^{-1}=I_n
]

oraz:

[
A^{-1}A=I_n,
]

gdzie (I_n) oznacza macierz jednostkową stopnia (n).

Przykładowo macierz jednostkowa stopnia drugiego ma postać:

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix},
]

a stopnia trzeciego:

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy podobną funkcję jak liczba 1 w zwykłym mnożeniu:

[
AI=IA=A.
]

Macierz odwrotna „cofa” działanie opisane przez macierz (A). Jeżeli macierz reprezentuje odwracalne przekształcenie liniowe, jej odwrotność przywraca wektor do wcześniejszego położenia. Definicja wymaga spełnienia warunku z obu stron, ponieważ mnożenie macierzy nie jest na ogół przemienne.

Kiedy istnieje macierz odwrotna?

Macierz (A) ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa podstawowe warunki:

1. jest macierzą kwadratową;
2. jej wyznacznik jest różny od zera.

Zapisujemy to następująco:

[
A^{-1}\text{ istnieje}\iff \det(A)\neq 0.
]

Jeżeli:

[
\det(A)=0,
]

macierz jest osobliwa i nie można jej odwrócić.

Dlaczego macierz musi być kwadratowa?

Dla macierzy (A) o wymiarach (m\times n) i macierzy (B) o wymiarach (n\times m) iloczyny (AB) oraz (BA) mają różne wymiary:

[
AB\in \mathbb{R}^{m\times m},
]

[
BA\in \mathbb{R}^{n\times n}.
]

Aby oba iloczyny mogły być odpowiednią macierzą jednostkową tego samego stopnia, liczba wierszy i kolumn macierzy (A) musi być jednakowa.

Dla niektórych macierzy prostokątnych można wyznaczyć odwrotność lewostronną, prawostronną albo pseudoodwrotność, lecz nie są one klasyczną macierzą odwrotną.

Dlaczego wyznacznik nie może wynosić zero?

Wyznacznik równy zeru oznacza, że przekształcenie opisane przez macierz powoduje utratę co najmniej jednego wymiaru informacji. Przykładowo może przekształcić całą płaszczyznę w prostą. Takiego działania nie da się jednoznacznie cofnąć, ponieważ wiele różnych wektorów może prowadzić do tego samego wyniku.

Warunek niezerowego wyznacznika jest równoważny odwracalności macierzy kwadratowej.

Równoważne warunki odwracalności macierzy

Dla macierzy kwadratowej (A) stopnia (n) następujące stwierdzenia są równoważne:

• istnieje macierz (A^{-1});
• (\det(A)\neq 0);
• macierz (A) ma pełny rząd równy (n);
• kolumny macierzy są liniowo niezależne;
• wiersze macierzy są liniowo niezależne;
• równanie (Ax=0) ma tylko rozwiązanie zerowe;
• układ (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego wektora (b);
• postać schodkowa zredukowana macierzy (A) jest macierzą jednostkową;
• zero nie jest wartością własną macierzy (A).

W praktycznych zadaniach najczęściej sprawdza się wyznacznik albo przeprowadza eliminację Gaussa. Jeżeli podczas redukcji nie można uzyskać elementu głównego w każdej kolumnie, macierz nie ma odwrotności.

Wzór na macierz odwrotną 2×2

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

wyznacznik wynosi:

[
\det(A)=ad-bc.
]

Jeżeli (ad-bc\neq 0), macierz odwrotna ma postać:

[
A^{-1}=
\frac{1}{ad-bc}
\begin{bmatrix}
d&-b\
-c&a
\end{bmatrix}.
]

Aby zapamiętać ten wzór:

• zamień miejscami elementy (a) i (d);
• zmień znaki elementów (b) i (c);
• całą macierz pomnóż przez odwrotność wyznacznika.

Wzór ten obowiązuje wyłącznie wtedy, gdy wyznacznik jest różny od zera.

Przykład obliczania macierzy odwrotnej 2×2

Wyznaczmy odwrotność macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}.
]

Najpierw obliczamy wyznacznik:

[
\det(A)=2\cdot3-1\cdot5=6-5=1.
]

Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz odwrotna istnieje.

Zamieniamy miejscami elementy na głównej przekątnej:

[
2\leftrightarrow3,
]

oraz zmieniamy znaki pozostałych elementów:

[
1\rightarrow-1,\qquad 5\rightarrow-5.
]

Otrzymujemy:

[
A^{-1}=
\frac{1}{1}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Zatem:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Jak sprawdzić wynik?

Mnożymy macierz (A) przez otrzymaną odwrotność:

[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Po wykonaniu mnożenia:

[
AA^{-1}=
\begin{bmatrix}
2\cdot3+1\cdot(-5)&2\cdot(-1)+1\cdot2\
5\cdot3+3\cdot(-5)&5\cdot(-1)+3\cdot2
\end{bmatrix}
]

[

\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Wynikiem jest macierz jednostkowa, więc obliczenia są prawidłowe.

Przykład macierzy, która nie ma odwrotności

Rozważmy macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik wynosi:

[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1=4-4=0.
]

Macierz odwrotna nie istnieje.

W tym przykładzie drugi wiersz jest równy połowie pierwszego. Wiersze nie są więc liniowo niezależne. Informacje zapisane w jednym z nich powtarzają zależność występującą w drugim, dlatego przekształcenia nie można jednoznacznie odwrócić.

Próba zastosowania wzoru dla macierzy (2\times2) prowadziłaby do dzielenia przez zero:

[
B^{-1}=
\frac{1}{0}
\begin{bmatrix}
2&-4\
-1&2
\end{bmatrix},
]

a takie działanie nie jest określone.

Jak obliczyć macierz odwrotną metodą Gaussa-Jordana?

Metoda Gaussa-Jordana jest uniwersalnym sposobem wyznaczania odwrotności macierzy kwadratowych różnych rozmiarów.

Tworzymy macierz rozszerzoną:

[
[A\mid I],
]

czyli po lewej stronie zapisujemy macierz (A), a po prawej macierz jednostkową tego samego stopnia.

Następnie wykonujemy elementarne operacje na wierszach, aż lewa część zostanie przekształcona w macierz jednostkową:

[
[A\mid I]\longrightarrow[I\mid A^{-1}].
]

Dozwolone są trzy rodzaje operacji:

• zamiana miejscami dwóch wierszy;
• pomnożenie całego wiersza przez liczbę różną od zera;
• dodanie do jednego wiersza wielokrotności innego wiersza.

Jeżeli lewej strony nie da się przekształcić w macierz jednostkową, odwrotność nie istnieje. Schemat ([A\mid I]\rightarrow[I\mid A^{-1}]) wynika bezpośrednio z eliminacji Gaussa-Jordana.

Przykład dla macierzy 3×3

Wyznaczmy macierz odwrotną do:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&0\
0&1&3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Tworzymy macierz rozszerzoną:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&3&0&1&0\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Najpierw usuwamy liczbę 3 z drugiego wiersza:

[
R_2\leftarrow R_2-3R_3.
]

Otrzymujemy:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&2&0&1&0&0\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Następnie usuwamy liczbę 2 z pierwszego wiersza:

[
R_1\leftarrow R_1-2R_2.
]

Dostajemy:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&0&1&-2&6\
0&1&0&0&1&-3\
0&0&1&0&0&1
\end{array}
\right].
]

Lewa część jest już macierzą jednostkową. Prawa część stanowi poszukiwaną odwrotność:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
1&-2&6\
0&1&-3\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Co się dzieje, gdy macierz jest osobliwa?

Jeżeli podczas redukcji po lewej stronie pojawi się wiersz zerowy i nie będzie możliwe uzyskanie macierzy jednostkowej, macierz jest nieodwracalna.

Przykładowa końcowa postać może wyglądać tak:

[
\left[
\begin{array}{ccc|ccc}
1&0&2&\cdots\
0&1&-1&\cdots\
0&0&0&\cdots
\end{array}
\right].
]

Brak trzeciego elementu głównego oznacza, że rząd macierzy jest mniejszy od jej stopnia. Macierz odwrotna nie istnieje.

Obliczanie odwrotności za pomocą macierzy dołączonej

Dla odwracalnej macierzy kwadratowej można zastosować wzór:

[
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
]

gdzie (\operatorname{adj}(A)) oznacza macierz dołączoną.

Aby ją otrzymać, należy:

1. obliczyć minor każdego elementu;
2. wyznaczyć dopełnienia algebraiczne;
3. zbudować macierz dopełnień algebraicznych;
4. przetransponować tę macierz;
5. pomnożyć wynik przez (\frac{1}{\det(A)}).

Dopełnienie algebraiczne elementu (a_{ij}) ma postać:

[
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
]

gdzie (M_{ij}) jest minorem powstałym po usunięciu (i)-tego wiersza oraz (j)-tej kolumny.

Macierz dołączona jest transpozycją macierzy dopełnień:

[
\operatorname{adj}(A)=C^T.
]

Metoda ta ma duże znaczenie teoretyczne i dobrze sprawdza się w niewielkich zadaniach wykonywanych ręcznie. Dla dużych macierzy wymaga jednak wielu obliczeń i nie jest najbardziej efektywnym algorytmem numerycznym.

Którą metodę obliczania wybrać?

Rodzaj zadania	Najwygodniejsza metoda
Macierz (1\times1)	Odwrotność pojedynczego elementu
Macierz (2\times2)	Bezpośredni wzór
Macierz (3\times3) liczona ręcznie	Gauss-Jordan lub macierz dołączona
Większa macierz liczona ręcznie	Gauss-Jordan
Obliczenia komputerowe	Algorytmy oparte na rozkładach macierzy
Rozwiązanie jednego układu (Ax=b)	Bezpośrednie rozwiązanie układu bez tworzenia (A^{-1})
Macierz prostokątna lub osobliwa	Pseudoodwrotność, jeśli odpowiada problemowi

W zadaniach szkolnych i akademickich metoda może być narzucona w poleceniu. Jeśli jej nie wskazano, warto wybrać rozwiązanie wymagające najmniejszej liczby działań.

Najważniejsze własności macierzy odwrotnej

Jeżeli macierze występujące we wzorach są odwracalne, zachodzą następujące własności.

Odwrotność jest jednoznaczna

Macierz odwracalna ma dokładnie jedną macierz odwrotną. Nie mogą istnieć dwie różne macierze spełniające jednocześnie warunki:

[
AB=BA=I.
]

Odwrotność odwrotności

[
(A^{-1})^{-1}=A.
]

Odwrócenie działania odwrotnego prowadzi do macierzy początkowej.

Odwrotność iloczynu

[
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
]

Kolejność czynników zostaje odwrócona. Nie wolno zapisywać:

[
(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1},
]

chyba że dane macierze w szczególnym przypadku są przemienne.

Własność można sprawdzić:

[
(AB)(B^{-1}A^{-1})
=A(BB^{-1})A^{-1}
=AIA^{-1}
=I.
]

Odwrotność macierzy transponowanej

[
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T.
]

Odwrotność potęgi

Dla całkowitego (k>0):

[
(A^k)^{-1}=(A^{-1})^k.
]

Odwrotność macierzy pomnożonej przez skalar

Dla (c\neq0):

[
(cA)^{-1}=\frac{1}{c}A^{-1}.
]

Wyznacznik macierzy odwrotnej

[
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
]

Wynika to z równości:

[
\det(AA^{-1})=\det(I)=1.
]

Ponieważ:

[
\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1}),
]

otrzymujemy:

[
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
]

Własności te wynikają z definicji odwrotności oraz zasad mnożenia macierzy.

Macierz odwrotna a transponowana

Macierz odwrotna i macierz transponowana to dwa różne pojęcia.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

macierz transponowana ma postać:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
a&c\
b&d
\end{bmatrix}.
]

Transpozycja polega na zamianie wierszy na kolumny. Nie wymaga obliczania wyznacznika i można ją wykonać również dla macierzy prostokątnej.

Macierz odwrotna musi natomiast spełniać warunek:

[
AA^{-1}=I.
]

Tylko w szczególnych przypadkach macierz transponowana jest jednocześnie odwrotna. Dzieje się tak dla macierzy ortogonalnych:

[
A^{-1}=A^T.
]

Nie należy więc automatycznie utożsamiać symboli (A^{-1}) i (A^T).

Macierz odwrotna nie jest odwrotnością każdego elementu

Częstym błędem jest założenie, że odwracanie macierzy polega na zastąpieniu każdego elementu jego odwrotnością.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

macierzą odwrotną nie jest:

[
\begin{bmatrix}
\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\
\frac{1}{c}&\frac{1}{d}
\end{bmatrix}.
]

Tak utworzona tablica zazwyczaj nie spełnia warunku (AA^{-1}=I). Co więcej, nie można byłoby jej skonstruować, gdyby którykolwiek element macierzy był zerem, chociaż wiele odwracalnych macierzy zawiera zera.

Symbol (A^{-1}) oznacza odwrotność względem mnożenia macierzy, a nie potęgowanie każdego elementu osobno do potęgi (-1).

Zastosowanie macierzy odwrotnej w układach równań

Układ równań liniowych można zapisać w postaci:

[
Ax=b,
]

gdzie:

• (A) jest macierzą współczynników;
• (x) jest wektorem niewiadomych;
• (b) jest wektorem wyrazów wolnych.

Jeżeli (A) jest odwracalna, mnożymy obie strony równania z lewej strony przez (A^{-1}):

[
A^{-1}Ax=A^{-1}b.
]

Ponieważ:

[
A^{-1}A=I,
]

otrzymujemy:

[
x=A^{-1}b.
]

Przykład rozwiązania układu

Rozważmy układ:

[
\begin{cases}
2x+y=7,\
5x+3y=18.
\end{cases}
]

Zapis macierzowy ma postać:

[
\begin{bmatrix}
2&1\
5&3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
7\
18
\end{bmatrix}.
]

Wiemy już, że:

[
A^{-1}=
\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}.
]

Zatem:

[
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
3&-1\
-5&2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
7\
18
\end{bmatrix}.
]

Po wykonaniu mnożenia:

[
x=3\cdot7-1\cdot18=3,
]

[
y=-5\cdot7+2\cdot18=1.
]

Rozwiązaniem jest:

[
x=3,\qquad y=1.
]

Czy w obliczeniach komputerowych warto tworzyć macierz odwrotną?

Zapis:

[
x=A^{-1}b
]

jest bardzo ważny teoretycznie, ale w praktycznych obliczeniach numerycznych zazwyczaj nie tworzy się pełnej macierzy odwrotnej tylko po to, aby rozwiązać pojedynczy układ równań.

Zamiast tego stosuje się algorytm rozwiązujący bezpośrednio równanie:

[
Ax=b.
]

W bibliotekach numerycznych odpowiadają temu funkcje takie jak solve. Unika się w ten sposób niepotrzebnego wyznaczania wszystkich elementów odwrotności. Dokumentacja SciPy przedstawia bezpośrednie rozwiązywanie układu jako standardową operację, a materiały z algebry liniowej wskazują, że eliminacja jest w takim zadaniu szybsza niż wcześniejsze obliczanie pełnej odwrotności.

Jawne wyznaczenie (A^{-1}) ma sens między innymi wtedy, gdy sama odwrotność jest potrzebnym wynikiem, ma być wielokrotnie używana w określonych przekształceniach albo stanowi element analizy symbolicznej.

Macierze źle uwarunkowane

Wyznacznik różny od zera gwarantuje teoretyczne istnienie macierzy odwrotnej, ale nie zawsze gwarantuje stabilne obliczenia numeryczne.

Macierz źle uwarunkowana jest bardzo bliska macierzy osobliwej. Niewielkie zmiany danych wejściowych lub błędy zaokrągleń mogą wtedy powodować duże zmiany wyniku.

Przykładem jest macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&1\
1&1{,}000001
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik jest różny od zera:

[
\det(A)=0{,}000001,
]

więc odwrotność formalnie istnieje. Jest to jednak bardzo mała wartość, a we wzorze na odwrotność pojawia się dzielenie przez wyznacznik. Elementy (A^{-1}) będą więc duże i wrażliwe na niedokładności.

Do oceny takiej wrażliwości wykorzystuje się współczynnik uwarunkowania. Dokumentacja NumPy ostrzega, że w przypadku macierzy źle uwarunkowanych obliczona odwrotność może być niedokładna z powodu błędów arytmetyki zmiennoprzecinkowej, nawet jeśli program nie zgłosi błędu.

Pseudoodwrotność macierzy

Klasyczna macierz odwrotna nie istnieje dla macierzy prostokątnych ani dla osobliwych macierzy kwadratowych. W wielu zastosowaniach można jednak wyznaczyć pseudoodwrotność Moore’a-Penrose’a, oznaczaną jako:

[
A^+.
]

Pseudoodwrotność nie jest tym samym co (A^{-1}). Stanowi uogólnienie odwrotności i może być używana między innymi do wyznaczania rozwiązań najmniejszych kwadratów w układach nadokreślonych lub niedookreślonych.

Jeżeli klasyczna odwrotność istnieje, zachodzi:

[
A^+=A^{-1}.
]

Dla pozostałych macierzy pseudoodwrotność jest zwykle wyznaczana za pomocą rozkładu według wartości osobliwych, czyli SVD.

Nie należy automatycznie zastępować nieistniejącej odwrotności pseudoodwrotnością. Najpierw trzeba sprawdzić, czy takie rozwiązanie odpowiada znaczeniu danego problemu.

Jak obliczyć macierz odwrotną w programie?

Python i NumPy

W bibliotece NumPy można użyć funkcji:

import numpy as np

A = np.array([
    [2.0, 1.0],
    [5.0, 3.0]
])

A_inv = np.linalg.inv(A)
print(A_inv)

Wynikiem będzie macierz zbliżona do:

[[ 3. -1.]
 [-5.  2.]]

Jeżeli celem jest rozwiązanie układu (Ax=b), lepiej użyć:

b = np.array([7.0, 18.0])
x = np.linalg.solve(A, b)
print(x)

Funkcja numpy.linalg.inv zgłasza błąd dla macierzy rozpoznanej jako osobliwa, ale przy macierzy źle uwarunkowanej wynik może zawierać znaczące błędy numeryczne.

Excel

W polskiej wersji programu Excel do wyznaczania odwrotności służy funkcja:

=MACIERZ.ODW(zakres)

Zakres musi zawierać macierz kwadratową złożoną z wartości liczbowych. W zależności od wersji programu wynik jest zwracany jako tablica dynamiczna albo wymaga wcześniejszego zaznaczenia odpowiedniego zakresu komórek. Microsoft wskazuje również zastosowanie macierzy odwrotnych przy rozwiązywaniu układów równań z wieloma niewiadomymi.

Wynik otrzymany z programu warto sprawdzić przez pomnożenie macierzy pierwotnej i odwrotnej. Z powodu błędów zaokrągleń elementy, które teoretycznie powinny wynosić zero, mogą mieć bardzo małe wartości, na przykład (10^{-15}).

Najczęstsze błędy podczas obliczania macierzy odwrotnej

Pomijanie sprawdzenia wyznacznika

Zastosowanie wzoru bez wcześniejszego sprawdzenia, czy:

[
\det(A)\neq0,
]

może doprowadzić do dzielenia przez zero.

W metodzie Gaussa-Jordana nie zawsze trzeba osobno liczyć wyznacznik, ponieważ nieodwracalność ujawni się podczas redukcji. W zadaniu ze wzorem na macierz dołączoną sprawdzenie wyznacznika jest jednak konieczne.

Zamiana niewłaściwych elementów we wzorze 2×2

Dla macierzy:

[
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

zamienia się miejscami wyłącznie (a) i (d). Elementy (b) oraz (c) pozostają na swoich miejscach, ale zmieniają znaki.

Błędna kolejność w odwrotności iloczynu

Prawidłowy wzór to:

[
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.
]

Odwrócenie iloczynu wymaga odwrócenia kolejności czynników.

Mylenie odwrotności z transpozycją

Macierz (A^T) nie jest zazwyczaj równa (A^{-1}). Równość zachodzi dla macierzy ortogonalnych, ale nie jest ogólną zasadą.

Odwracanie elementów osobno

Zastąpienie każdego elementu (a_{ij}) wartością (\frac{1}{a_{ij}}) nie prowadzi do klasycznej macierzy odwrotnej.

Wykonywanie operacji tylko po jednej stronie macierzy rozszerzonej

W metodzie Gaussa-Jordana każdą operację trzeba przeprowadzić na całym wierszu, zarówno po lewej, jak i po prawej stronie kreski:

[
[A\mid I].
]

Zmiana wyłącznie części należącej do (A) niszczy równoważność przekształcenia.

Brak sprawdzenia wyniku

Nawet niewielki błąd znaku może zmienić całą odwrotność. Najpewniejszą kontrolą jest obliczenie:

[
AA^{-1}
]

lub:

[
A^{-1}A.
]

Wynikiem powinna być macierz jednostkowa.

Jak szybko sprawdzić, czy wynik jest prawdopodobny?

Pełne mnożenie macierzy jest najdokładniejszą kontrolą, ale przed jego wykonaniem można ocenić kilka własności:

• macierz odwrotna powinna mieć takie same wymiary jak macierz wyjściowa;
• jeśli (A) jest diagonalna, odwrotności elementów diagonalnych powinny znaleźć się na tej samej przekątnej;
• jeśli (A=I), to również (A^{-1}=I);
• jeśli (A) jest trójkątna, jej odwrotność także jest trójkątna tego samego rodzaju;
• powinno zachodzić (\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)});
• jeżeli otrzymano bardzo duże liczby, warto sprawdzić, czy wyznacznik nie jest bliski zeru.

Kontrole te nie zastępują mnożenia, ale pomagają szybko wychwycić część błędów.

Macierz odwrotna – najważniejsze wnioski

Macierz odwrotna (A^{-1}) jest macierzą, która po pomnożeniu przez (A) daje macierz jednostkową:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Istnieje tylko dla macierzy kwadratowych o niezerowym wyznaczniku. Dla macierzy (2\times2) można skorzystać z bezpośredniego wzoru, natomiast dla większych macierzy wygodna jest metoda Gaussa-Jordana.

Macierz odwrotna pozwala między innymi zapisać rozwiązanie układu (Ax=b) jako (x=A^{-1}b), odwracać przekształcenia liniowe i analizować własności macierzy. W obliczeniach komputerowych pojedynczy układ równań zazwyczaj rozwiązuje się jednak bez jawnego tworzenia pełnej odwrotności.

FAQ

Kiedy macierz odwrotna istnieje?

Macierz odwrotna istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy dana macierz jest kwadratowa, a jej wyznacznik jest różny od zera. Taka macierz jest nazywana odwracalną lub nieosobliwą. Równoważnie musi mieć pełny rząd, a układ (Ax=b) powinien mieć dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego wektora (b).

Jak obliczyć macierz odwrotną 2×2?

Dla (A=\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}) najpierw oblicza się wyznacznik (ad-bc). Jeśli jest niezerowy, zamienia się miejscami (a) i (d), zmienia znaki (b) oraz (c), a następnie mnoży całą macierz przez (\frac{1}{ad-bc}).

Jak sprawdzić, czy macierz odwrotna została obliczona poprawnie?

Należy pomnożyć macierz wyjściową przez otrzymaną odwrotność. Jeżeli (AA^{-1}=I), wynik jest poprawny. Można również sprawdzić iloczyn w przeciwnej kolejności. Przy obliczeniach komputerowych zamiast dokładnych zer mogą pojawić się bardzo małe liczby wynikające z błędów zaokrągleń.

Dlaczego macierz o wyznaczniku zero nie ma odwrotności?

Wyznacznik równy zeru oznacza, że wiersze lub kolumny macierzy są liniowo zależne, a opisane przez nią przekształcenie traci część informacji. Kilka różnych wektorów może zostać przekształconych w ten sam wynik, dlatego odtworzenie jednoznacznego wejścia nie jest możliwe.

Czy macierz prostokątna może mieć macierz odwrotną?

Macierz prostokątna nie ma klasycznej dwustronnej odwrotności spełniającej oba warunki (AA^{-1}=I) i (A^{-1}A=I). W określonych sytuacjach może mieć odwrotność jednostronną. Można też wyznaczyć jej pseudoodwrotność Moore’a-Penrose’a, stosowaną między innymi w metodzie najmniejszych kwadratów.

Czy macierz odwrotna jest tym samym co macierz transponowana?

Nie. Transpozycja polega na zamianie wierszy na kolumny i jest możliwa dla każdej macierzy. Odwrotność musi spełniać warunek (AA^{-1}=I) i istnieje tylko dla niektórych macierzy kwadratowych. Obie macierze są równe jedynie w szczególnym przypadku macierzy ortogonalnej.

Jaką metodą najlepiej obliczać macierz odwrotną 3×3?

Najbardziej uniwersalna jest metoda Gaussa-Jordana, w której przekształca się macierz rozszerzoną ([A\mid I]) do postaci ([I\mid A^{-1}]). Można również wykorzystać macierz dołączoną i wzór z wyznacznikiem. Wybór zależy od polecenia oraz od tego, która metoda prowadzi do prostszych rachunków.