Mnożenie macierzy wykonuje się według zasady: wiersz pierwszej macierzy mnożymy przez kolumnę drugiej, a otrzymane iloczyny dodajemy. Działanie jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej.

Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m \times n), a macierz (B) wymiar (n \times p), ich iloczyn (AB) będzie macierzą o wymiarze (m \times p). Przykładowo macierz (2 \times 3) można pomnożyć przez macierz (3 \times 4), a wynik będzie miał dwa wiersze i cztery kolumny.

Na czym polega mnożenie macierzy?

Macierz to prostokątny układ liczb zapisanych w wierszach i kolumnach. Przykładowa macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

ma dwa wiersze i trzy kolumny, dlatego jej wymiar zapisujemy jako:

[
2 \times 3.
]

Pierwsza liczba zawsze określa liczbę wierszy, a druga liczbę kolumn.

Klasyczne mnożenie macierzy nie polega na mnożeniu liczb znajdujących się na tych samych pozycjach. Każdy element wyniku powstaje przez połączenie jednego wiersza pierwszej macierzy z jedną kolumną drugiej. Jest więc sumą iloczynów odpowiednich elementów tego wiersza i kolumny.

Najważniejszy schemat można zapisać następująco:

[
\text{wiersz} \times \text{kolumna} = \text{jeden element wyniku}.
]

Kiedy można mnożyć macierze?

Iloczyn macierzy (AB) istnieje wtedy, gdy liczba kolumn macierzy (A) jest równa liczbie wierszy macierzy (B).

Jeżeli:

[
A_{m \times n}
]

oraz:

[
B_{n \times p},
]

to działanie:

[
A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}
]

jest możliwe, a wynik ma wymiar:

[
C_{m \times p}.
]

Można to zapamiętać za pomocą schematu:

[
(m \times \cancel{n})\cdot(\cancel{n}\times p)=m\times p.
]

Wymiary środkowe muszą być takie same. Wymiary zewnętrzne określają rozmiar macierzy wynikowej.

Przykład zgodnych wymiarów

Rozważmy działanie:

[
A_{2\times3}\cdot B_{3\times4}.
]

Pierwsza macierz ma trzy kolumny, a druga trzy wiersze. Mnożenie jest zatem możliwe.

Wynik będzie miał wymiar:

[
2\times4.
]

Przykład niezgodnych wymiarów

Dla działania:

[
A_{2\times3}\cdot B_{2\times4}
]

liczba kolumn pierwszej macierzy wynosi 3, natomiast liczba wierszy drugiej wynosi 2. Ponieważ te wartości nie są równe, iloczyn (AB) nie jest określony.

Warunek zgodności wymiarów obowiązuje również w programach wykonujących obliczenia automatycznie. Funkcja MMULT w Arkuszach Google i funkcja numpy.matmul w bibliotece NumPy zgłaszają błąd lub nie wykonują operacji, gdy odpowiednie wymiary macierzy nie pasują do siebie.

Mnożenie macierzy krok po kroku

Rozważmy dwie macierze kwadratowe:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}.
]

Obie mają wymiar (2\times2), dlatego można obliczyć zarówno (AB), jak i (BA). Najpierw wyznaczymy iloczyn:

[
AB=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}.
]

Wynik będzie miał postać:

[
AB=
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12}\
c_{21} & c_{22}
\end{bmatrix}.
]

Krok 1. Pierwszy wiersz razy pierwsza kolumna

Pierwszy element wyniku powstaje z pierwszego wiersza macierzy (A) i pierwszej kolumny macierzy (B):

[
c_{11}=1\cdot5+2\cdot7.
]

[
c_{11}=5+14=19.
]

Krok 2. Pierwszy wiersz razy druga kolumna

Drugi element pierwszego wiersza wyniku obliczamy, łącząc pierwszy wiersz macierzy (A) z drugą kolumną macierzy (B):

[
c_{12}=1\cdot6+2\cdot8.
]

[
c_{12}=6+16=22.
]

Krok 3. Drugi wiersz razy pierwsza kolumna

Przechodzimy do drugiego wiersza macierzy (A):

[
c_{21}=3\cdot5+4\cdot7.
]

[
c_{21}=15+28=43.
]

Krok 4. Drugi wiersz razy druga kolumna

Ostatni element wyniku wynosi:

[
c_{22}=3\cdot6+4\cdot8.
]

[
c_{22}=18+32=50.
]

Ostatecznie otrzymujemy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
19 & 22\
43 & 50
\end{bmatrix}.
]

Każde pole macierzy wynikowej zawiera jedną liczbę otrzymaną po zsumowaniu iloczynów elementów odpowiedniego wiersza i kolumny.

Wzór na mnożenie macierzy

Załóżmy, że macierz (A) ma wymiar (m\times n), a macierz (B) wymiar (n\times p). Element znajdujący się w (i)-tym wierszu i (j)-tej kolumnie macierzy wynikowej (C=AB) obliczamy ze wzoru:

[
c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.
]

Po rozwinięciu suma ma postać:

[
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}.
]

Indeks (i) wskazuje wybrany wiersz pierwszej macierzy, a indeks (j) wybraną kolumnę drugiej. Indeks (k) przechodzi przez wszystkie odpowiadające sobie elementy wiersza i kolumny.

W praktyce wzór oznacza wykonanie czterech czynności:

1. wybranie wiersza macierzy (A),
2. wybranie kolumny macierzy (B),
3. pomnożenie odpowiadających sobie elementów,
4. dodanie otrzymanych iloczynów.

Tę samą procedurę powtarzamy dla każdej pozycji w macierzy wynikowej.

Przykład mnożenia macierzy prostokątnych

Macierze przeznaczone do mnożenia nie muszą być kwadratowe. Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
7 & 8\
9 & 10\
11 & 12
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A) ma wymiar (2\times3), a macierz (B) wymiar (3\times2). Liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej, dlatego mnożenie można wykonać.

Wynik będzie miał wymiar:

[
2\times2.
]

Obliczamy kolejne elementy:

[
c_{11}=1\cdot7+2\cdot9+3\cdot11=7+18+33=58,
]

[
c_{12}=1\cdot8+2\cdot10+3\cdot12=8+20+36=64,
]

[
c_{21}=4\cdot7+5\cdot9+6\cdot11=28+45+66=139,
]

[
c_{22}=4\cdot8+5\cdot10+6\cdot12=32+50+72=154.
]

Iloczyn macierzy wynosi:

[
AB=
\begin{bmatrix}
58 & 64\
139 & 154
\end{bmatrix}.
]

W tym przykładzie każdy element wyniku wymaga wykonania trzech mnożeń i dodania trzech otrzymanych wartości.

Czy kolejność mnożenia macierzy ma znaczenie?

W przypadku zwykłych liczb można zamieniać czynniki miejscami:

[
2\cdot3=3\cdot2.
]

Mnożenie macierzy zasadniczo nie jest przemienne. Oznacza to, że zazwyczaj:

[
AB\neq BA.
]

Zmiana kolejności macierzy może prowadzić do innego wyniku, wyniku o innym wymiarze albo do działania, którego w ogóle nie można wykonać.

Wróćmy do macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}.
]

Wcześniej obliczyliśmy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
19 & 22\
43 & 50
\end{bmatrix}.
]

Teraz zmieniamy kolejność:

[
BA=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}.
]

Otrzymujemy:

[
BA=
\begin{bmatrix}
5\cdot1+6\cdot3 & 5\cdot2+6\cdot4\
7\cdot1+8\cdot3 & 7\cdot2+8\cdot4
\end{bmatrix}
]

czyli:

[
BA=
\begin{bmatrix}
23 & 34\
31 & 46
\end{bmatrix}.
]

Widać więc wyraźnie, że:

[
AB\neq BA.
]

Istnieją szczególne macierze, które są ze sobą przemienne, ale nie jest to ogólna reguła. W każdym zadaniu należy zachować kolejność podaną w poleceniu.

Najważniejsze własności mnożenia macierzy

Brak przemienności nie oznacza, że mnożenie macierzy nie ma uporządkowanych zasad. Operacja posiada kilka ważnych własności wykorzystywanych w algebrze liniowej.

Łączność

Dla macierzy o odpowiednich wymiarach zachodzi:

[
(AB)C=A(BC).
]

Można więc zmienić sposób grupowania działań, ale nie wolno zmieniać kolejności macierzy.

Wyrażenia:

[
(AB)C
]

i:

[
A(BC)
]

dają ten sam wynik, natomiast:

[
ABC
]

nie musi być równe:

[
ACB.
]

Rozdzielność względem dodawania

Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania:

[
A(B+C)=AB+AC
]

oraz:

[
(A+B)C=AC+BC.
]

Wszystkie macierze muszą mieć wymiary umożliwiające wykonanie wskazanych działań.

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa pełni podobną funkcję jak liczba 1 w zwykłym mnożeniu.

Dla macierzy kwadratowej (A):

[
AI=IA=A.
]

Macierz jednostkowa stopnia drugiego wygląda następująco:

[
I=
\begin{bmatrix}
1 & 0\
0 & 1
\end{bmatrix}.
]

Na głównej przekątnej znajdują się jedynki, a wszystkie pozostałe elementy są zerami.

Macierz zerowa

Pomnożenie macierzy przez macierz zerową o odpowiednim wymiarze daje macierz zerową:

[
A0=0
]

oraz:

[
0A=0.
]

Transpozycja iloczynu

Dla transpozycji iloczynu obowiązuje wzór:

[
(AB)^T=B^TA^T.
]

Po wykonaniu transpozycji trzeba odwrócić kolejność macierzy. Pominięcie tej zmiany jest częstym błędem w bardziej zaawansowanych zadaniach.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Mnożenia dwóch macierzy nie należy mylić z mnożeniem macierzy przez liczbę, nazywaną skalarem.

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
]

to:

[
3A=
\begin{bmatrix}
3\cdot1 & 3\cdot2\
3\cdot3 & 3\cdot4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
3 & 6\
9 & 12
\end{bmatrix}.
]

W tym przypadku każdą liczbę znajdującą się w macierzy mnożymy osobno przez ten sam skalar. Nie obowiązuje warunek zgodności liczby wierszy i kolumn.

Różnicę można przedstawić w prosty sposób:

Rodzaj działania	Sposób obliczania
Macierz razy liczba	Każdy element macierzy mnożymy przez tę samą liczbę
Macierz razy macierz	Wiersze pierwszej macierzy łączymy z kolumnami drugiej
Iloczyn Hadamarda	Mnożymy elementy znajdujące się na tych samych pozycjach

Mnożenie macierzy a iloczyn Hadamarda

Iloczyn Hadamarda to mnożenie element po elemencie. Można go wykonać dla macierzy o takich samych wymiarach.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}
]

iloczyn Hadamarda wynosi:

[
A\circ B=
\begin{bmatrix}
1\cdot5 & 2\cdot6\
3\cdot7 & 4\cdot8
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
5 & 12\
21 & 32
\end{bmatrix}.
]

Klasyczne mnożenie tych samych macierzy daje natomiast:

[
AB=
\begin{bmatrix}
19 & 22\
43 & 50
\end{bmatrix}.
]

Są to więc dwie różne operacje. Jeżeli w zadaniu pojawia się wyłącznie polecenie „pomnóż macierze”, zwykle chodzi o klasyczny iloczyn obliczany metodą „wiersz razy kolumna”.

Jak pomnożyć macierz przez wektor?

Wektor kolumnowy można traktować jak macierz mającą jedną kolumnę. Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m\times n), a wektor (x) wymiar (n\times1), wynikiem działania (Ax) będzie wektor o wymiarze (m\times1).

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
x=
\begin{bmatrix}
5\
6
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy:

[
Ax=
\begin{bmatrix}
1\cdot5+2\cdot6\
3\cdot5+4\cdot6
\end{bmatrix}.
]

Po wykonaniu działań otrzymujemy:

[
Ax=
\begin{bmatrix}
17\
39
\end{bmatrix}.
]

Mnożenie macierzy przez wektor jest podstawowym sposobem opisywania przekształceń liniowych. Macierz reprezentuje określone przekształcenie, wektor jest danymi wejściowymi, a wynik stanowi wektor wyjściowy.

Jak obliczyć potęgę macierzy?

Potęgowanie macierzy oznacza wielokrotne mnożenie macierzy przez samą siebie. Działanie dotyczy macierzy kwadratowych.

Dla macierzy (A):

[
A^2=A\cdot A,
]

[
A^3=A\cdot A\cdot A.
]

Potęgi zerowa i pierwsza mają postać:

[
A^0=I,
]

[
A^1=A,
]

gdzie (I) jest macierzą jednostkową odpowiedniego stopnia.

Nie należy podnosić osobno każdego elementu macierzy do potęgi. Przykładowo (A^2) to klasyczny iloczyn (A\cdot A), a nie macierz utworzona z kwadratów poszczególnych elementów.

Jak mnożyć trzy lub więcej macierzy?

Przy mnożeniu kilku macierzy trzeba zachować ich kolejność. Dzięki łączności można jednak wybrać sposób grupowania:

[
ABC=(AB)C=A(BC).
]

Nie zawsze oba warianty są równie wygodne obliczeniowo.

Załóżmy, że:

[
A_{10\times100},\qquad B_{100\times5},\qquad C_{5\times50}.
]

Jeżeli najpierw obliczymy (AB), powstanie macierz (10\times5). Następnie mnożymy ją przez macierz (5\times50).

Jeżeli zaczniemy od (BC), otrzymamy znacznie większą macierz pośrednią (100\times50). Wynik końcowy będzie taki sam, ale liczba wykonywanych operacji może być większa.

W zadaniach z małymi macierzami różnica zwykle nie ma dużego znaczenia. W obliczeniach komputerowych na dużych zbiorach danych odpowiedni sposób grupowania może jednak zmniejszyć czas obliczeń i ilość potrzebnej pamięci.

Najczęstsze błędy przy mnożeniu macierzy

Sama arytmetyka wykorzystywana w mnożeniu macierzy nie jest skomplikowana. Większość pomyłek wynika z zastosowania niewłaściwego schematu.

Brak sprawdzenia wymiarów

Przed rozpoczęciem obliczeń trzeba porównać liczbę kolumn pierwszej macierzy z liczbą wierszy drugiej. Jeżeli wartości nie są równe, działania nie można wykonać.

Mnożenie elementu przez element

W klasycznym iloczynie nie mnożymy liczb znajdujących się na tych samych pozycjach. Taka operacja jest iloczynem Hadamarda, a nie standardowym mnożeniem macierzy.

Łączenie dwóch wierszy

Zawsze wykorzystujemy wiersz pierwszej macierzy oraz kolumnę drugiej. Mnożenie wiersza przez wiersz lub kolumny przez kolumnę prowadzi do nieprawidłowego wyniku.

Pomijanie dodawania

Po pomnożeniu odpowiadających sobie elementów trzeba dodać wszystkie otrzymane iloczyny. Wynikiem połączenia jednego wiersza z jedną kolumną jest pojedyncza liczba.

Zmiana kolejności macierzy

Iloczyn (AB) nie jest na ogół równy (BA). Nie wolno zamieniać macierzy miejscami tylko dlatego, że taki układ wydaje się wygodniejszy.

Nieprawidłowy wymiar wyniku

Macierz wynikowa ma tyle wierszy, ile pierwsza macierz, oraz tyle kolumn, ile druga. Dla działania:

[
A_{3\times2}B_{2\times4}
]

wynik musi mieć wymiar:

[
3\times4.
]

Błędy przy liczbach ujemnych

Warto zapisywać każdy iloczyn razem ze znakiem, na przykład:

[
(-2)\cdot(-3)=6,
]

[
(-2)\cdot3=-6.
]

Zbyt szybkie wykonywanie działań w pamięci zwiększa ryzyko zgubienia minusa.

Jak sprawdzić poprawność wyniku?

Najpierw należy sprawdzić rozmiar macierzy wynikowej. Jeżeli mnożymy macierz (m\times n) przez macierz (n\times p), wynik musi mieć dokładnie (m) wierszy i (p) kolumn.

Następnie warto ponownie obliczyć przynajmniej dwa elementy, na przykład lewy górny i prawy dolny:

• lewy górny element powstaje z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny,
• prawy dolny element powstaje z ostatniego wiersza i ostatniej kolumny.

Przy większych macierzach pomocne jest zaznaczanie aktualnie używanego wiersza i kolumny. Można również porównać wynik z kalkulatorem macierzy, arkuszem kalkulacyjnym albo programem matematycznym. Narzędzie automatyczne powinno jednak służyć do kontroli, a nie zastępować zrozumienie metody.

Mnożenie macierzy w Arkuszach Google

Arkusze Google udostępniają funkcję:

=MACIERZ.ILOCZYN(zakres1; zakres2)

Jej angielska nazwa to:

=MMULT(matrix1, matrix2)

Pierwszy zakres zawiera pierwszą macierz, a drugi zakres drugą. Tak jak przy obliczeniach ręcznych liczba kolumn pierwszego zakresu musi być równa liczbie wierszy drugiego.

Przykładowo, jeżeli pierwsza macierz znajduje się w komórkach A1:B2, a druga w komórkach D1:E2, można użyć formuły:

=MACIERZ.ILOCZYN(A1:B2;D1:E2)

Funkcji MACIERZ.ILOCZYN nie należy mylić ze zwykłym operatorem *, który może wykonywać mnożenie pojedynczych wartości lub odpowiadających sobie elementów tablic.

Mnożenie macierzy w Pythonie

W bibliotece NumPy do mnożenia macierzy można wykorzystać operator @ albo funkcję numpy.matmul.

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 2],
    [3, 4]
])

B = np.array([
    [5, 6],
    [7, 8]
])

wynik = A @ B
print(wynik)

Program zwróci:

[[19 22]
 [43 50]]

Ten sam rezultat można uzyskać przez:

wynik = np.matmul(A, B)

Dokumentacja NumPy określa matmul jako funkcję obliczającą iloczyn macierzowy tablic. Dla dwóch tablic dwuwymiarowych zalecane jest także użycie operatora @.

Operatora @ nie należy mylić z operatorem *. Dla tablic NumPy zapis:

A * B

wykonuje zazwyczaj mnożenie element po elemencie, czyli operację odpowiadającą iloczynowi Hadamarda.

Do czego wykorzystuje się mnożenie macierzy?

Mnożenie macierzy jest jednym z podstawowych działań algebry liniowej. Umożliwia zapisywanie i wykonywanie wielu przekształceń jednocześnie.

Układy równań liniowych

Układ wielu równań można zapisać w zwartej postaci:

[
Ax=b.
]

Macierz (A) zawiera współczynniki równań, wektor (x) niewiadome, a wektor (b) wartości znajdujące się po prawej stronie.

Grafika komputerowa

Macierze wykorzystuje się do obracania, skalowania, przesuwania i zmiany perspektywy obiektów. Kolejne przekształcenia można połączyć przez pomnożenie odpowiednich macierzy.

Analiza danych

Dane często zapisuje się w postaci macierzy, w której wiersze odpowiadają obserwacjom, a kolumny cechom. Iloczyny macierzy pozwalają wykonywać wiele obliczeń na całych zestawach wartości jednocześnie.

Uczenie maszynowe

Warstwy modeli mogą przekształcać dane wejściowe poprzez mnożenie macierzy i wektorów. Operacje tego rodzaju są intensywnie wykorzystywane między innymi w sieciach neuronowych.

Fizyka i technika

Macierze służą do opisywania ruchu, zmian układów współrzędnych, obwodów elektrycznych, konstrukcji oraz układów zależnych od wielu zmiennych.

Jak szybko nauczyć się mnożenia macierzy?

Najlepiej rozpocząć od macierzy (2\times2), ponieważ wynik zawiera tylko cztery elementy. Każde działanie warto wykonywać według tego samego schematu:

1. zapisz wymiary macierzy,
2. sprawdź zgodność wymiarów wewnętrznych,
3. ustal wymiar wyniku,
4. wybierz wiersz pierwszej macierzy,
5. wybierz kolumnę drugiej macierzy,
6. pomnóż odpowiadające sobie elementy,
7. dodaj iloczyny,
8. wpisz wynik we właściwej pozycji.

Po opanowaniu macierzy kwadratowych warto przejść do przykładów prostokątnych. Pozwala to lepiej zrozumieć, dlaczego liczba wierszy i kolumn ma znaczenie.

Nie należy wykonywać całego działania w pamięci. Rozpisywanie iloczynów i sum zajmuje nieco więcej miejsca, ale wyraźnie ogranicza liczbę pomyłek.

Mnożenie macierzy – najważniejsze informacje

Mnożenie macierzy polega na łączeniu kolejnych wierszy pierwszej macierzy z kolumnami drugiej. Odpowiadające sobie liczby mnożymy, a następnie dodajemy otrzymane iloczyny.

Działanie (AB) jest możliwe wtedy, gdy liczba kolumn macierzy (A) jest równa liczbie wierszy macierzy (B). Wynik ma tyle wierszy, ile pierwsza macierz, i tyle kolumn, ile druga. Należy również zachować kolejność czynników, ponieważ zazwyczaj (AB\neq BA).

FAQ

Jak mnożyć macierze krok po kroku?

Najpierw sprawdź, czy liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej. Następnie wybierz wiersz pierwszej macierzy i kolumnę drugiej, pomnóż odpowiadające sobie elementy oraz dodaj iloczyny. Otrzymaną liczbę wpisz w miejscu wskazanym przez numer użytego wiersza i kolumny.

Jaki jest warunek mnożenia dwóch macierzy?

Iloczyn (AB) można obliczyć, gdy liczba kolumn macierzy (A) jest równa liczbie wierszy macierzy (B). Jeżeli (A) ma wymiar (m\times n), a (B) wymiar (n\times p), wynikiem będzie macierz (m\times p). Niezgodność środkowych wymiarów oznacza, że działanie nie jest określone.

Jaki wymiar ma wynik mnożenia macierzy?

Wynik przejmuje liczbę wierszy z pierwszej macierzy oraz liczbę kolumn z drugiej. Dla działania (A_{m\times n}B_{n\times p}) macierz wynikowa ma wymiar (m\times p). Przykładowo iloczyn macierzy (2\times3) i (3\times4) daje macierz mającą dwa wiersze oraz cztery kolumny.

Czy mnożenie macierzy jest przemienne?

Zazwyczaj nie. W ogólnym przypadku (AB\neq BA). Po zmianie kolejności można otrzymać inną macierz, macierz o innym wymiarze albo działanie niemożliwe do wykonania. Istnieją szczególne pary macierzy przemiennych, ale nie wolno zakładać tej własności bez przeprowadzenia obliczeń lub dowodu.

Czy można pomnożyć macierz 2 × 3 przez macierz 3 × 2?

Tak. Liczba kolumn pierwszej macierzy wynosi 3 i jest równa liczbie wierszy drugiej. Wynikiem będzie macierz (2\times2). Mnożenie w odwrotnej kolejności również jest możliwe, lecz wtedy macierz (3\times2) mnożymy przez (2\times3), więc otrzymany wynik ma wymiar (3\times3).

Czym różni się mnożenie macierzy od mnożenia przez liczbę?

Przy mnożeniu macierzy przez liczbę każdy jej element mnożymy przez ten sam skalar. Przy mnożeniu dwóch macierzy element wyniku jest sumą iloczynów liczb z odpowiedniego wiersza pierwszej macierzy i kolumny drugiej. Są to odmienne działania, które mają inne zasady oraz warunki wykonania.

Dlaczego przy mnożeniu macierzy stosuje się wiersz razy kolumna?

Taka definicja umożliwia traktowanie macierzy jako opisów przekształceń liniowych. Iloczyn macierzy odpowiada wtedy złożeniu kolejnych przekształceń. Dzięki temu działanie współpracuje z mnożeniem macierzy przez wektory i może być stosowane w układach równań, grafice, fizyce oraz analizie danych.