Rząd macierzy określa maksymalną liczbę jej liniowo niezależnych wierszy lub kolumn. W praktyce informuje, ile niezależnych informacji zawiera dana macierz. Najczęściej oblicza się go metodą eliminacji Gaussa: macierz sprowadza się do postaci schodkowej, a następnie liczy niezerowe wiersze lub pozycje główne, nazywane pivotami.

Rząd można również wyznaczyć za pomocą minorów. Jest on wtedy równy najwyższemu stopniowi niezerowego minora danej macierzy. Dla macierzy kwadratowej warto najpierw obliczyć wyznacznik. Jeżeli jest różny od zera, macierz ma pełny rząd. Jeżeli wyznacznik wynosi zero, konieczne są dalsze obliczenia.

Co to jest rząd macierzy?

Macierz o wymiarze (m\times n) składa się z (m) wierszy i (n) kolumn. Jej rząd oznacza się najczęściej jako:

[
\operatorname{rank}(A),
]

[
r(A)
]

lub:

[
\operatorname{rz}(A).
]

Rząd wierszowy macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wierszy, natomiast rząd kolumnowy to maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn. Obie wartości są zawsze równe, dlatego mówi się po prostu o rzędzie macierzy.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
2&4
\end{bmatrix}
]

drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego:

[
[2,4]=2[1,2].
]

Wiersze nie są więc liniowo niezależne. Macierz zawiera tylko jeden niezależny wiersz, dlatego:

[
r(A)=1.
]

To samo widać po kolumnach. Druga kolumna jest dwukrotnością pierwszej, więc liczba niezależnych kolumn również wynosi jeden.

Co oznacza liniowa niezależność wierszy i kolumn?

Wiersze są liniowo niezależne, jeżeli żadnego z nich nie można przedstawić jako kombinacji liniowej pozostałych. Analogiczna zasada dotyczy kolumn.

Rozważmy macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Jej drugi wiersz nie jest wielokrotnością pierwszego ani nie można go z niego otrzymać przez dodawanie i mnożenie przez skalar. Wiersze są niezależne, podobnie jak kolumny. Zatem:

[
r(B)=2.
]

W większych macierzach zależność nie musi być tak oczywista. Jeden wiersz może być sumą dwóch innych, na przykład:

[
[3,5,7]=[1,2,3]+[2,3,4].
]

Taki wiersz nie wnosi nowej niezależnej informacji i nie zwiększa rzędu macierzy.

Rząd macierzy a jej wymiar

Rząd i wymiar macierzy to dwa różne pojęcia.

Wymiar określa liczbę wierszy i kolumn. Macierz:

[
A_{3\times4}
]

ma trzy wiersze i cztery kolumny.

Jej rząd może jednak wynosić:

[
0,\ 1,\ 2\ \text{lub}\ 3.
]

Nie może być większy niż trzy, ponieważ macierz ma tylko trzy wiersze. Ogólna zależność ma postać:

[
0\leq r(A)\leq \min(m,n).
]

Dla macierzy (m\times n) maksymalny możliwy rząd jest więc równy mniejszej z liczb (m) i (n).

Wymiar macierzy	Możliwe wartości rzędu	Maksymalny rząd
(2\times2)	0, 1, 2	2
(2\times4)	0, 1, 2	2
(3\times2)	0, 1, 2	2
(3\times3)	0, 1, 2, 3	3
(4\times5)	0, 1, 2, 3, 4	4

Co oznacza pełny rząd macierzy?

Macierz ma pełny rząd, jeżeli:

[
r(A)=\min(m,n).
]

Dla macierzy (3\times5) pełny rząd wynosi 3. Dla macierzy (5\times3) również wynosi 3.

W przypadku macierzy kwadratowej stopnia (n) pełny rząd oznacza:

[
r(A)=n.
]

Jest to równoważne temu, że wyznacznik macierzy jest różny od zera. Taka macierz jest nieosobliwa i posiada macierz odwrotną.

Przykładowo:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
3&4
\end{bmatrix}.
]

Wyznacznik wynosi:

[
\det(A)=1\cdot4-2\cdot3=-2.
]

Ponieważ:

[
\det(A)\neq0,
]

macierz ma pełny rząd:

[
r(A)=2.
]

Jak obliczyć rząd macierzy metodą Gaussa?

Najbardziej uniwersalnym sposobem obliczania rzędu jest eliminacja Gaussa. Polega ona na wykonywaniu operacji elementarnych na wierszach, aż macierz przyjmie postać schodkową.

Operacje elementarne nie zmieniają rzędu macierzy. Można:

• zamieniać miejscami dwa wiersze,
• mnożyć wiersz przez liczbę różną od zera,
• dodać do jednego wiersza inny wiersz pomnożony przez dowolną liczbę.

Po uzyskaniu postaci schodkowej rząd jest równy liczbie niezerowych wierszy, a także liczbie pivotów.

Przykład obliczania rzędu macierzy krok po kroku

Wyznaczmy rząd macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&-1&3\
2&4&1&9\
-1&-2&-2&-6
\end{bmatrix}.
]

Pierwszy wiersz pozostawiamy bez zmian. Od drugiego odejmujemy pierwszy wiersz pomnożony przez 2:

[
W_2\leftarrow W_2-2W_1.
]

Otrzymujemy:

[
W_2=
[2,4,1,9]-[2,4,-2,6]

[0,0,3,3].
]

Do trzeciego wiersza dodajemy pierwszy:

[
W_3\leftarrow W_3+W_1.
]

Otrzymujemy:

[
W_3=
[-1,-2,-2,-6]+[1,2,-1,3]

[0,0,-3,-3].
]

Macierz ma teraz postać:

[
\begin{bmatrix}
1&2&-1&3\
0&0&3&3\
0&0&-3&-3
\end{bmatrix}.
]

Do trzeciego wiersza dodajemy drugi:

[
W_3\leftarrow W_3+W_2.
]

Wynik:

[
\begin{bmatrix}
1&2&-1&3\
0&0&3&3\
0&0&0&0
\end{bmatrix}.
]

Po sprowadzeniu macierzy do postaci schodkowej pozostały dwa niezerowe wiersze. Zatem:

[
\boxed{r(A)=2}.
]

Czy trzeba uzyskać jedynki na przekątnej?

Nie. Do obliczenia rzędu wystarczy postać schodkowa. Elementy główne nie muszą być równe jeden.

Macierz:

[
\begin{bmatrix}
2&4&1\
0&3&5\
0&0&-7
\end{bmatrix}
]

ma trzy niezerowe wiersze i trzy pivoty, dlatego jej rząd wynosi 3. Nie ma potrzeby dzielenia kolejnych wierszy przez 2, 3 i (-7), chyba że zadanie wymaga zredukowanej postaci schodkowej.

Jak odczytać rząd macierzy z postaci schodkowej?

Macierz jest w postaci schodkowej, gdy:

• wszystkie wiersze zerowe znajdują się na dole,
• pierwszy niezerowy element kolejnego wiersza leży bardziej na prawo niż pierwszy niezerowy element wiersza poprzedniego,
• pod każdym elementem głównym znajdują się zera.

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&3&0&2\
0&0&2&5\
0&0&0&4\
0&0&0&0
\end{bmatrix}.
]

Macierz zawiera trzy niezerowe wiersze. Ma również trzy pozycje główne:

[
1,\ 2,\ 4.
]

Dlatego:

[
r(A)=3.
]

Nie należy liczyć wszystkich niezerowych elementów. Rząd nie jest liczbą niezerowych liczb w macierzy, lecz liczbą pivotów albo niezależnych wierszy i kolumn.

Jak obliczyć rząd macierzy za pomocą minorów?

Minor stopnia (k) to wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia (k), otrzymanej przez wybranie z pierwotnej macierzy odpowiednich wierszy i kolumn.

Rząd niezerowej macierzy jest równy najwyższemu stopniowi jej niezerowego minora. Jeżeli istnieje niezerowy minor stopnia 3, ale wszystkie minory stopnia 4 są równe zero, rząd macierzy wynosi 3.

Przykład wyznaczania rzędu z minorów

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2&3\
2&4&6\
0&1&1
\end{bmatrix}.
]

Najpierw sprawdzamy wyznacznik całej macierzy. Ponieważ drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego:

[
\det(A)=0.
]

Wynika z tego, że:

[
r(A)<3.
]

Następnie szukamy niezerowego minora stopnia 2. Wybierzmy pierwszy i trzeci wiersz oraz pierwszą i drugą kolumnę:

[
M=
\begin{vmatrix}
1&2\
0&1
\end{vmatrix}.
]

Wyznacznik tego minora wynosi:

[
M=1\cdot1-2\cdot0=1.
]

Istnieje więc niezerowy minor stopnia 2, czyli:

[
r(A)\geq2.
]

Jednocześnie wyznacznik całej macierzy jest równy zero, więc rząd nie może wynosić 3. Ostatecznie:

[
\boxed{r(A)=2}.
]

Kiedy metoda minorów jest wygodna?

Metoda minorów sprawdza się przede wszystkim przy:

• małych macierzach,
• macierzach zawierających wiele zer,
• zadaniach z parametrem,
• dowodzeniu, że rząd jest co najmniej równy określonej liczbie,
• sprawdzaniu pełnego rzędu macierzy kwadratowej.

Przy dużych macierzach liczba możliwych minorów szybko rośnie. W takich przypadkach metoda Gaussa jest zwykle prostsza i mniej podatna na błędy.

Czy sam wyznacznik wystarczy do określenia rzędu?

Wyznacznik pomaga tylko w przypadku macierzy kwadratowej.

Dla macierzy (n\times n):

[
\det(A)\neq0\quad\Longrightarrow\quad r(A)=n.
]

Jeżeli jednak:

[
\det(A)=0,
]

wiadomo jedynie, że:

[
r(A)<n.
]

Nie wiadomo jeszcze, czy rząd wynosi (n-1), (n-2), czy jeszcze mniej. Trzeba wtedy zastosować eliminację Gaussa albo zbadać minory niższych stopni.

Przykładowo obie macierze mają wyznacznik równy zero:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&0
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
1&2&3\
2&4&6\
3&6&9
\end{bmatrix}.
]

Ich rzędy są jednak różne:

[
r(A)=2,
]

[
r(B)=1.
]

Sam zerowy wyznacznik nie pozwala więc ustalić dokładnego rzędu.

Jak obliczyć rząd macierzy z parametrem?

W zadaniach z parametrem trzeba ustalić, dla jakich jego wartości rząd macierzy się zmienia. Najczęściej oblicza się wyznacznik albo odpowiedni minor zawierający parametr.

Rozważmy macierz:

[
A(t)=
\begin{bmatrix}
1&0&1\
0&1&1\
1&1&t
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy jej wyznacznik:

[
\det A(t)=
1\cdot
\begin{vmatrix}
1&1\
1&t
\end{vmatrix}
+
1\cdot
\begin{vmatrix}
0&1\
1&1
\end{vmatrix}.
]

Po wykonaniu działań:

[
\det A(t)=t-1-1=t-2.
]

Jeżeli:

[
t\neq2,
]

to:

[
\det A(t)\neq0,
]

a więc:

[
r(A)=3.
]

Dla:

[
t=2
]

macierz ma postać:

[
A(2)=
\begin{bmatrix}
1&0&1\
0&1&1\
1&1&2
\end{bmatrix}.
]

Trzeci wiersz jest sumą dwóch pierwszych:

[
W_3=W_1+W_2.
]

Pierwszy i drugi wiersz są jednak niezależne, dlatego:

[
r(A)=2.
]

Ostateczny wynik:

[
r(A)=
\begin{cases}
3,&t\neq2,\
2,