Wyznacznik macierzy to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Pozwala między innymi sprawdzić, czy macierz ma odwrotność, czy kolumny lub wiersze są liniowo niezależne oraz czy układ równań liniowych ma jednoznaczne rozwiązanie. Wyznacznik ma również interpretację geometryczną: jego wartość bezwzględna opisuje, jak dane przekształcenie liniowe zmienia pole powierzchni lub objętość.

Dla macierzy (2\times2) wyznacznik oblicza się ze wzoru (ad-bc). W przypadku macierzy (3\times3) można zastosować regułę Sarrusa, rozwinięcie Laplace’a albo eliminację Gaussa. Dla większych macierzy najwygodniejsze są przekształcenia wierszowe prowadzące do macierzy trójkątnej.

Najważniejsza zasada brzmi: jeśli wyznacznik macierzy jest równy zero, macierz jest osobliwa i nie ma klasycznej macierzy odwrotnej. Gdy wyznacznik jest różny od zera, macierz jest odwracalna.

Co to jest wyznacznik macierzy?

Wyznacznik jest wartością skalarną, czyli pojedynczą liczbą wyznaczaną na podstawie elementów macierzy kwadratowej. Najczęściej oznacza się go na jeden z dwóch sposobów:

[
\det(A)
]

albo:

[
|A|.
]

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix},
]

to zapis wyznacznika może wyglądać następująco:

[
\det(A)=
\begin{vmatrix}
a&b\
c&d
\end{vmatrix}.
]

Należy odróżniać macierz od jej wyznacznika. Macierz jest prostokątną tablicą liczb, natomiast wyznacznik jest jedną liczbą otrzymaną po wykonaniu określonych działań na jej elementach. MIT OpenCourseWare definiuje determinant jako liczbę związaną z każdą macierzą kwadratową i podkreśla, że zawiera ona istotne informacje o właściwościach macierzy.

Czy każda macierz ma wyznacznik?

Klasyczny wyznacznik oblicza się wyłącznie dla macierzy kwadratowych, czyli takich, które mają tyle samo wierszy i kolumn.

Wyznacznik można więc obliczyć dla macierzy:

• (1\times1);
• (2\times2);
• (3\times3);
• (4\times4);
• dowolnego wymiaru (n\times n).

Nie wyznacza się go natomiast dla zwykłej macierzy (2\times3), (3\times4) czy (5\times2). W takich przypadkach liczba wierszy i kolumn nie jest jednakowa.

Co oznacza wartość wyznacznika?

Sam wynik obliczenia mówi znacznie więcej niż tylko to, czy rachunki zostały wykonane poprawnie.

Wyznacznik różny od zera

Jeżeli:

[
\det(A)\neq0,
]

to macierz jest nieosobliwa, czyli odwracalna. Oznacza to między innymi, że:

• istnieje macierz (A^{-1});
• wiersze macierzy są liniowo niezależne;
• kolumny macierzy są liniowo niezależne;
• macierz ma pełny rząd;
• układ (Ax=b) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego wektora (b).

Wyznacznik równy zero

Jeżeli:

[
\det(A)=0,
]

macierz jest osobliwa i nie ma macierzy odwrotnej. Jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne, a odpowiadające jej przekształcenie powoduje utratę części informacji.

Przykładowo przekształcenie płaszczyzny może „spłaszczyć” ją do prostej. W takiej sytuacji nie da się jednoznacznie odtworzyć punktu początkowego, ponieważ wiele różnych punktów może zostać przekształconych w ten sam wynik.

Niezerowy wyznacznik jest warunkiem odwracalności macierzy, natomiast wyznacznik równy zero wskazuje na macierz osobliwą.

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 1×1?

Macierz stopnia pierwszego zawiera tylko jeden element:

[
A=
\begin{bmatrix}
a
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik jest równy temu elementowi:

[
\det(A)=a.
]

Przykładowo:

[
A=
\begin{bmatrix}
7
\end{bmatrix},
]

więc:

[
\det(A)=7.
]

Jeżeli jedynym elementem jest zero, wyznacznik również wynosi zero:

[
\det
\begin{bmatrix}
0
\end{bmatrix}
=0.
]

Wyznacznik macierzy 2×2

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}
]

wyznacznik obliczamy według wzoru:

[
\det(A)=ad-bc.
]

Mnożymy więc elementy leżące na głównej przekątnej, a następnie odejmujemy iloczyn elementów z drugiej przekątnej:

[
\begin{vmatrix}
a&b\
c&d
\end{vmatrix}

a\cdot d-b\cdot c.
]

Jest to podstawowy wzór wykorzystywany zarówno przy obliczaniu odwrotności macierzy (2\times2), jak i przy rozwiązywaniu układów dwóch równań metodą Cramera.

Przykład 1

Obliczmy wyznacznik macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&2\
4&5
\end{bmatrix}.
]

Stosujemy wzór:

[
\det(A)=3\cdot5-2\cdot4.
]

Zatem:

[
\det(A)=15-8=7.
]

Wyznacznik jest różny od zera, więc macierz jest odwracalna.

Przykład 2

Rozważmy macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
2&4\
1&2
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy:

[
\det(B)=2\cdot2-4\cdot1.
]

Otrzymujemy:

[
\det(B)=4-4=0.
]

Macierz (B) nie ma odwrotności. Widać również, że pierwszy wiersz jest dwukrotnością drugiego, dlatego wiersze są liniowo zależne.

Przykład z liczbami ujemnymi

Niech:

[
C=
\begin{bmatrix}
-2&3\
4&-1
\end{bmatrix}.
]

Wyznacznik wynosi:

[
\det(C)=(-2)\cdot(-1)-3\cdot4.
]

Czyli:

[
\det(C)=2-12=-10.
]

Ujemna wartość nie oznacza, że macierz jest nieodwracalna. O odwracalności decyduje wyłącznie to, czy wynik jest równy zero.

Wyznacznik macierzy 3×3 – reguła Sarrusa

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b&c\
d&e&f\
g&h&i
\end{bmatrix}
]

wyznacznik można obliczyć według wzoru:

[
\det(A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.
]

Reguła Sarrusa polega na dopisaniu dwóch pierwszych kolumn po prawej stronie macierzy, a następnie obliczeniu iloczynów elementów leżących na sześciu przekątnych.

Trzy iloczyny biegnące w dół od lewej do prawej dodajemy, a trzy iloczyny biegnące w przeciwnym kierunku odejmujemy.

Reguła Sarrusa jest przeznaczona wyłącznie dla macierzy (3\times3). Nie można jej bezpośrednio stosować do macierzy (4\times4) ani większych.

Przykład obliczenia regułą Sarrusa

Obliczmy wyznacznik:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1&3\
0&-1&4\
5&2&0
\end{bmatrix}.
]

Korzystamy ze wzoru:

[
\det(A)=
2\cdot(-1)\cdot0+
1\cdot4\cdot5+
3\cdot0\cdot2
]

[

3\cdot(-1)\cdot5

1\cdot0\cdot0

2\cdot4\cdot2.
]

Obliczamy kolejne iloczyny:

[
\det(A)=0+20+0-(-15)-0-16.
]

Zatem:

[
\det(A)=20+15-16=19.
]

Ponieważ wynik jest różny od zera, macierz jest odwracalna.

Najczęstszy błąd w regule Sarrusa

Najłatwiej pomylić znak przy jednym z odejmowanych iloczynów. Jeżeli sam iloczyn jest ujemny, jego odjęcie zmienia się w dodawanie.

Przykładowo:

[
-\left(3\cdot(-1)\cdot5\right)
=-(-15)
=15.
]

Warto najpierw zapisać wszystkie sześć iloczynów, a dopiero później wykonywać działania na znakach.

Rozwinięcie Laplace’a i dopełnienia algebraiczne

Reguła Sarrusa działa tylko dla macierzy (3\times3). Bardziej uniwersalną metodą jest rozwinięcie Laplace’a, nazywane także rozwinięciem wyznacznika względem wiersza albo kolumny.

Minor elementu

Minorem (M_{ij}) elementu (a_{ij}) nazywamy wyznacznik macierzy powstałej po usunięciu:

• (i)-tego wiersza;
• (j)-tej kolumny.

Dla macierzy (3\times3) po usunięciu jednego wiersza i jednej kolumny pozostaje macierz (2\times2).

Dopełnienie algebraiczne

Dopełnienie algebraiczne elementu (a_{ij}) określa wzór:

[
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
]

Znaki dopełnień algebraicznych układają się naprzemiennie:

[
\begin{bmatrix}
+&-&+\
-&+&-\
+&-&+
\end{bmatrix}.
]

Pierwszy element ma znak dodatni, następny ujemny, kolejny dodatni i tak dalej.

Rozwinięcie względem wiersza

Wyznacznik można rozwinąć względem dowolnego wiersza. Dla pierwszego wiersza macierzy (3\times3):

[
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}.
]

Po rozpisaniu znaków:

[
\det(A)=
a_{11}M_{11}
-a_{12}M_{12}
+a_{13}M_{13}.
]

Przykład rozwinięcia Laplace’a

Obliczmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&0&2\
-1&3&1\
0&2&4
\end{bmatrix}.
]

Najwygodniej rozwinąć wyznacznik względem pierwszego wiersza, ponieważ zawiera on zero:

[
\det(A)=
1\cdot
\begin{vmatrix}
3&1\
2&4
\end{vmatrix}

0\cdot
\begin{vmatrix}
-1&1\
0&4
\end{vmatrix}
+
2\cdot
\begin{vmatrix}
-1&3\
0&2
\end{vmatrix}.
]

Obliczamy wyznaczniki drugiego stopnia:

[
\begin{vmatrix}
3&1\
2&4
\end{vmatrix}
=3\cdot4-1\cdot2=10,
]

oraz:

[
\begin{vmatrix}
-1&3\
0&2
\end{vmatrix}
=(-1)\cdot2-3\cdot0=-2.
]

Zatem:

[
\det(A)=1\cdot10+2\cdot(-2)=10-4=6.
]

Rozwinięcie względem wiersza lub kolumny zawierającej wiele zer znacznie skraca rachunki. Wzory oparte na dopełnieniach algebraicznych są również wykorzystywane przy wyprowadzaniu wzoru na macierz odwrotną.

Jak obliczać większe wyznaczniki metodą eliminacji Gaussa?

Dla macierzy (4\times4) i większych wielokrotne rozwijanie Laplace’a może prowadzić do bardzo długich obliczeń. Często wygodniej jest przekształcić macierz do postaci trójkątnej.

Jeżeli macierz zostanie sprowadzona do postaci:

[
U=
\begin{bmatrix}
u_{11}&&&\
0&u_{22}&&\
0&0&u_{33}&\
0&0&0&u_{44}
\end{bmatrix},
]

to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów na głównej przekątnej:

[
\det(U)=u_{11}u_{22}u_{33}u_{44}.
]

Podczas wykonywania operacji wierszowych trzeba jednak pamiętać, jak każda z nich wpływa na wynik.

Dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego

Operacja:

[
R_j\leftarrow R_j+kR_i
]

nie zmienia wyznacznika.

Zamiana dwóch wierszy

Zamiana miejscami dwóch wierszy zmienia znak wyznacznika: