Transponowanie macierzy – definicja, przykłady, własności i zastosowania
Transponowanie macierzy polega na zamianie jej wierszy na kolumny. Pierwszy wiersz macierzy wyjściowej staje się pierwszą kolumną macierzy transponowanej, drugi wiersz staje się drugą kolumną i tak dalej. Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m \times n), to jej transpozycja (A^T) ma wymiar (n \times m).
Operacja jest prosta obliczeniowo, ale ma duże znaczenie w algebrze liniowej, statystyce, analizie danych, grafice komputerowej i uczeniu maszynowym. Transpozycja pozwala między innymi zmieniać wektory wierszowe w kolumnowe, przygotowywać macierze do mnożenia, definiować macierze symetryczne oraz zapisywać iloczyny skalarne i równania wykorzystywane w regresji liniowej.
Co to jest transponowanie macierzy?
Niech (A=[a_{ij}]) będzie macierzą o (m) wierszach i (n) kolumnach. Macierzą transponowaną do (A) nazywamy macierz (A^T), której element znajdujący się w wierszu (i) i kolumnie (j) jest równy elementowi z wiersza (j) i kolumny (i) macierzy wyjściowej.
Formalnie zapisuje się to następująco:
[
(A^T){ij}=A{ji}
]
Oznacza to, że elementy zamieniają się miejscami względem głównej przekątnej. Transpozycję można więc wyobrazić sobie jako odbicie macierzy względem przekątnej biegnącej od lewego górnego rogu.
Jak oznacza się macierz transponowaną?
Najczęściej stosuje się zapis:
[
A^T
]
Można również spotkać oznaczenia (A^{\mathsf T}), (A’), (A^t) albo (\operatorname{transpose}(A)). W podręcznikach matematycznych dominuje symbol (A^T).
W programach komputerowych sposób zapisu zależy od języka lub środowiska. Przykładowo w bibliotece NumPy można użyć właściwości .T lub funkcji transpose(), natomiast w MATLAB-ie funkcja transpose wykonuje transpozycję bez sprzężenia zespolonego.
Jak transponować macierz krok po kroku?
Aby wyznaczyć macierz transponowaną:
- odczytaj pierwszy wiersz macierzy wyjściowej;
- zapisz go jako pierwszą kolumnę nowej macierzy;
- drugi wiersz zapisz jako drugą kolumnę;
- postępuj tak samo ze wszystkimi kolejnymi wierszami;
- sprawdź, czy liczba wierszy i kolumn została zamieniona.
Rozważmy macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]
Macierz (A) ma dwa wiersze i trzy kolumny, czyli wymiar (2 \times 3).
Po transponowaniu otrzymujemy:
[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{bmatrix}
]
Macierz (A^T) ma trzy wiersze i dwie kolumny, czyli wymiar (3 \times 2). Pierwszy wiersz ([1,2,3]) stał się pierwszą kolumną, a drugi wiersz ([4,5,6]) – drugą kolumną.
Transponowanie macierzy 3 × 2
Dla macierzy:
[
B=
\begin{bmatrix}
2 & 7\
-1 & 4\
5 & 0
\end{bmatrix}
]
transpozycja ma postać:
[
B^T=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\
7 & 4 & 0
\end{bmatrix}
]
Macierz o wymiarze (3 \times 2) zmieniła się w macierz (2 \times 3).
Transponowanie macierzy kwadratowej
Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn. Po transponowaniu jej wymiar się nie zmienia, ale elementy znajdujące się po przeciwnych stronach głównej przekątnej zamieniają się miejscami.
Dla macierzy:
[
C=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
]
otrzymujemy:
[
C^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\
2 & 5 & 8\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
]
Elementy głównej przekątnej, czyli (1), (5) i (9), pozostają na swoich miejscach. Pozostałe elementy są odbijane względem tej przekątnej.
Transponowanie wektora
Wektor można zapisać jako macierz mającą jeden wiersz albo jedną kolumnę. Transpozycja zmienia wektor wierszowy w kolumnowy i odwrotnie.
Wektor wierszowy:
[
v=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]
po transponowaniu przyjmuje postać:
[
v^T=
\begin{bmatrix}
2\
4\
6
\end{bmatrix}
]
Z kolei wektor kolumnowy:
[
w=
\begin{bmatrix}
3\
5\
7
\end{bmatrix}
]
po transponowaniu staje się wektorem wierszowym:
[
w^T=
\begin{bmatrix}
3 & 5 & 7
\end{bmatrix}
]
Rozróżnienie jest istotne przy mnożeniu macierzy. Wektor wierszowy (1 \times n) i wektor kolumnowy (n \times 1) zawierają te same liczby, ale mają inne wymiary i mogą pełnić inne funkcje w działaniach algebraicznych.
Najważniejsze własności transponowania macierzy
Transpozycja spełnia kilka podstawowych własności wykorzystywanych podczas przekształcania wyrażeń macierzowych.
Dwukrotne transponowanie
Dwukrotne transponowanie przywraca macierz wyjściową:
[
(A^T)^T=A
]
Pierwsza operacja zamienia wiersze na kolumny, a druga ponownie zamienia je na wiersze.
Przykład:
[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]
[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 3\
2 & 4
\end{bmatrix}
]
[
(A^T)^T=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}=A
]
Transpozycja sumy macierzy
Dla macierzy o takich samych wymiarach:
[
(A+B)^T=A^T+B^T
]
Można więc najpierw dodać macierze i transponować wynik albo osobno transponować każdą macierz, a następnie je dodać. Rezultat będzie taki sam.
Analogicznie:
[
(A-B)^T=A^T-B^T
]
Transpozycja macierzy pomnożonej przez liczbę
Dla dowolnego skalara (k):
[
(kA)^T=kA^T
]
Pomnożenie wszystkich elementów przez liczbę nie wpływa na sposób zamiany wierszy i kolumn.
Transpozycja iloczynu macierzy
Jedna z najważniejszych własności ma postać:
[
(AB)^T=B^TA^T
]
Kolejność czynników zostaje odwrócona. Nie można na ogół zapisać:
[
(AB)^T=A^TB^T
]
ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne. Zmiana kolejności jest również potrzebna, aby zgadzały się wymiary macierzy. Zasada bywa określana w anglojęzycznych materiałach jako „shoes and socks rule” – element zdejmowany jako ostatni zakłada się jako pierwszy.
Dla trzech macierzy:
[
(ABC)^T=C^TB^TA^T
]
Kolejność całego iloczynu zostaje odwrócona.
Transpozycja macierzy odwrotnej
Jeżeli macierz (A) jest odwracalna, to:
[
(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}
]
Transpozycja macierzy odwrotnej jest więc odwrotnością macierzy transponowanej.
Wyznacznik macierzy transponowanej
Dla macierzy kwadratowej:
[
\det(A^T)=\det(A)
]
Transponowanie nie zmienia wartości wyznacznika.
Rząd macierzy transponowanej
Macierz i jej transpozycja mają ten sam rząd:
[
\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)
]
Zamiana wierszy na kolumny nie zmienia liczby liniowo niezależnych informacji zawartych w macierzy.
Ślad macierzy transponowanej
Dla macierzy kwadratowej:
[
\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A)
]
Ślad jest sumą elementów głównej przekątnej. Ponieważ podczas transpozycji elementy przekątnej nie zmieniają położenia, suma pozostaje taka sama.
Transpozycja iloczynu – przykład obliczeniowy
Rozważmy macierze:
[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
0 & 1\
2 & 3
\end{bmatrix}
]
Najpierw obliczamy iloczyn:
[
AB=
\begin{bmatrix}
1\cdot0+2\cdot2 & 1\cdot1+2\cdot3\
3\cdot0+4\cdot2 & 3\cdot1+4\cdot3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 & 7\
8 & 15
\end{bmatrix}
]
Jego transpozycja to:
[
(AB)^T=
\begin{bmatrix}
4 & 8\
7 & 15
\end{bmatrix}
]
Teraz transponujemy osobno obie macierze:
[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 3\
2 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B^T=
\begin{bmatrix}
0 & 2\
1 & 3
\end{bmatrix}
]
Mnożymy w odwróconej kolejności:
[
B^TA^T=
\begin{bmatrix}
0 & 2\
1 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 3\
2 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 & 8\
7 & 15
\end{bmatrix}
]
Otrzymujemy więc:
[
(AB)^T=B^TA^T
]
Macierz symetryczna a transponowanie
Macierz kwadratowa jest symetryczna, jeżeli jest równa swojej transpozycji:
[
A^T=A
]
Oznacza to, że elementy po obu stronach głównej przekątnej są takie same:
[
a_{ij}=a_{ji}
]
Definicję macierzy symetrycznej oraz jej związek z transpozycją przedstawiają materiały akademickie z algebry liniowej.
Przykładem jest macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1\
3 & 5 & 4\
1 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]
Po transponowaniu:
[
A^T=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1\
3 & 5 & 4\
1 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]
Macierz nie zmieniła się, dlatego jest symetryczna.
Jak szybko sprawdzić symetrię?
Wystarczy porównać elementy znajdujące się po przeciwnych stronach głównej przekątnej:
- (a_{12}) z (a_{21}),
- (a_{13}) z (a_{31}),
- (a_{23}) z (a_{32}).
Jeżeli wszystkie odpowiednie pary są równe, macierz jest symetryczna.
Macierz antysymetryczna
Macierz kwadratowa jest antysymetryczna, nazywana też skośnie symetryczną, jeśli:
[
A^T=-A
]
Elementy po przeciwnych stronach przekątnej mają wtedy przeciwne znaki. Na głównej przekątnej muszą znajdować się zera.
Przykład:
[
A=
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -1\
-2 & 0 & 4\
1 & -4 & 0
\end{bmatrix}
]
Transpozycja a macierz odwrotna
Macierz transponowana i odwrotna to dwa różne pojęcia.
Macierz (A^T) powstaje przez zamianę wierszy na kolumny. Można ją wyznaczyć dla każdej macierzy, również prostokątnej.
Macierz odwrotna (A^{-1}) istnieje tylko dla niektórych macierzy kwadratowych i spełnia warunek:
[
AA^{-1}=A^{-1}A=I
]
Nie należy więc automatycznie utożsamiać (A^T) z (A^{-1}).
Kiedy transpozycja jest równa macierzy odwrotnej?
Równość:
[
A^T=A^{-1}
]
zachodzi dla macierzy ortogonalnych. Oznacza to, że:
[
A^TA=AA^T=I
]
Macierze ortogonalne są wykorzystywane między innymi do opisywania obrotów i odbić w przestrzeni. Zachowują długości wektorów oraz kąty między nimi.
Transponowanie macierzy zespolonej
W macierzach zawierających liczby zespolone trzeba odróżnić zwykłą transpozycję od transpozycji ze sprzężeniem.
Dla macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
1+i & 2\
3i & 4-i
\end{bmatrix}
]
zwykła transpozycja polega wyłącznie na zamianie wierszy i kolumn:
[
A^T=
\begin{bmatrix}
1+i & 3i\
2 & 4-i
\end{bmatrix}
]