Macierz diagonalna to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy znajdujące się poza główną przekątną są równe zero. Liczby leżące na przekątnej mogą być dowolne, również równe zero. Przykładem jest macierz:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -3 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

Jej szczególna budowa znacząco upraszcza obliczanie wyznacznika, macierzy odwrotnej, potęg i wartości własnych. Macierze diagonalne mają duże znaczenie w algebrze liniowej, ponieważ wiele skomplikowanych przekształceń można łatwiej analizować po sprowadzeniu ich macierzy do postaci diagonalnej.

Co to jest macierz diagonalna?

Macierz (D=[d_{ij}]) stopnia (n) jest diagonalna, jeżeli:

[
d_{ij}=0 \quad \text{dla każdego } i\neq j
]

Warunek ten oznacza, że niezerowe elementy mogą występować wyłącznie na głównej przekątnej, czyli w pozycjach:

[
d_{11},d_{22},d_{33},\ldots,d_{nn}
]

Ogólną macierz diagonalną zapisuje się w postaci:

[
D=
\begin{bmatrix}
d_1 & 0 & \cdots & 0\
0 & d_2 & \cdots & 0\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
0 & 0 & \cdots & d_n
\end{bmatrix}
]

lub krócej:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

W podstawowym ujęciu algebraicznym macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Można spotkać również rozszerzone pojęcie prostokątnej macierzy diagonalnej, jednak w typowych zadaniach szkolnych i akademickich termin odnosi się do macierzy (n\times n).

Gdzie znajduje się główna przekątna?

Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu macierzy.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
]

na głównej przekątnej znajdują się elementy:

[
a_{11},a_{22},a_{33}
]

Pozostałe elementy leżą poza przekątną. Aby macierz była diagonalna, wszystkie muszą być równe zero.

Jak rozpoznać macierz diagonalną?

Sprawdzenie macierzy można przeprowadzić w trzech krokach:

1. Ustal, czy macierz jest kwadratowa.
2. Zaznacz główną przekątną.
3. Sprawdź wszystkie elementy poza przekątną.

Jeżeli choć jeden element znajdujący się poza przekątną jest różny od zera, macierz nie jest diagonalna.

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
4 & 0\
0 & 7
\end{bmatrix}
]

Macierz (A) jest diagonalna, ponieważ oba elementy poza przekątną są równe zero.

Macierz:

[
B=
\begin{bmatrix}
4 & 1\
0 & 7
\end{bmatrix}
]

nie jest diagonalna, ponieważ element (b_{12}=1) znajduje się poza główną przekątną.

Czy na przekątnej mogą znajdować się zera?

Tak. Definicja wymaga jedynie, aby elementy poza główną przekątną były równe zero. Przykładowa macierz:

[
C=
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}
]

jest diagonalna.

Obecność zera na przekątnej ma jednak znaczenie dla dalszych działań. Taka macierz ma wyznacznik równy zero, a więc nie posiada macierzy odwrotnej.

Czy macierz zerowa jest diagonalna?

Tak. Macierz zerowa:

[
O=
\begin{bmatrix}
0 & 0\
0 & 0
\end{bmatrix}
]

spełnia definicję macierzy diagonalnej, ponieważ wszystkie jej elementy poza przekątną są zerowe. Zera na samej przekątnej również są dozwolone.

Przykłady macierzy diagonalnych

Macierz diagonalna stopnia 2

[
D=
\begin{bmatrix}
5 & 0\
0 & -1
\end{bmatrix}
]

Jej elementy diagonalne to (5) i (-1).

Macierz diagonalna stopnia 3

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & 6 & 0\
0 & 0 & 9
\end{bmatrix}
]

Można ją zapisać krócej jako:

[
D=\operatorname{diag}(2,6,9)
]

Macierz diagonalna z zerem na przekątnej

[
D=
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0\
0 & 0 & 0\
0 & 0 & 8
\end{bmatrix}
]

Macierz nadal jest diagonalna, ale nieodwracalna.

Macierz, która nie jest diagonalna

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 3 & 2\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

Element (2) znajduje się poza główną przekątną. Macierz jest górnotrójkątna, ale nie diagonalna.

Macierz diagonalna a macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej. Wszystkie elementy na jej głównej przekątnej są równe (1), a pozostałe elementy – (0).

Dla stopnia trzeciego:

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

Macierz jednostkowa pełni w mnożeniu macierzy rolę podobną do liczby (1) w zwykłym mnożeniu:

[
AI=IA=A
]

Każda macierz jednostkowa jest diagonalna, ale nie każda macierz diagonalna jest jednostkowa.

Macierz diagonalna a macierz skalarna

Macierz skalarna jest macierzą diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekątnej są równe tej samej liczbie.

Ma postać:

[
S=
\begin{bmatrix}
c & 0 & \cdots & 0\
0 & c & \cdots & 0\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\
0 & 0 & \cdots & c
\end{bmatrix}
=cI
]

Przykład:

[
S=
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0\
0 & 4 & 0\
0 & 0 & 4
\end{bmatrix}
=4I_3
]

Każda macierz skalarna jest diagonalna. Macierz jednostkowa jest natomiast macierzą skalarną, dla której (c=1).

Zależność można przedstawić następująco:

• macierze diagonalne stanowią najszerszą grupę;
• macierze skalarne są szczególnymi macierzami diagonalnymi;
• macierz jednostkowa jest szczególną macierzą skalarną.

Macierz diagonalna a macierz trójkątna

Macierz górnotrójkątna ma wszystkie elementy pod główną przekątną równe zero. Macierz dolnotrójkątna ma natomiast zera nad główną przekątną.

W macierzy diagonalnej zera znajdują się zarówno nad, jak i pod przekątną. Oznacza to, że każda macierz diagonalna jest jednocześnie:

• macierzą górnotrójkątną;
• macierzą dolnotrójkątną.

Nie każda macierz trójkątna jest jednak diagonalna. Macierz górnotrójkątna może zawierać niezerowe elementy nad przekątną, a dolnotrójkątna – pod nią.

Dodawanie macierzy diagonalnych

Macierze można dodawać tylko wtedy, gdy mają takie same wymiary. Przy dodawaniu dwóch macierzy diagonalnych sumuje się odpowiadające sobie elementy na głównej przekątnej.

Jeżeli:

[
A=\operatorname{diag}(a_1,a_2,\ldots,a_n)
]

oraz:

[
B=\operatorname{diag}(b_1,b_2,\ldots,b_n)
]

to:

[
A+B=\operatorname{diag}(a_1+b_1,a_2+b_2,\ldots,a_n+b_n)
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3 & 0\
0 & -1
\end{bmatrix}
]

[
A+B=
\begin{bmatrix}
5 & 0\
0 & 4
\end{bmatrix}
]

Suma macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest również macierzą diagonalną.

Analogicznie:

[
A-B=\operatorname{diag}(a_1-b_1,\ldots,a_n-b_n)
]

Mnożenie macierzy diagonalnych

Iloczyn dwóch macierzy diagonalnych tego samego stopnia otrzymuje się przez pomnożenie odpowiadających sobie elementów głównej przekątnej:

[
AB=\operatorname{diag}(a_1b_1,a_2b_2,\ldots,a_nb_n)
]

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3 & 0\
0 & 4
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
6 & 0\
0 & 20
\end{bmatrix}
]

Iloczyn macierzy diagonalnych jest diagonalny.

Czy macierze diagonalne można mnożyć przemiennie?

Tak, jeśli są tego samego stopnia:

[
AB=BA
]

Wynika to z faktu, że odpowiadające sobie elementy diagonalne są zwykłymi liczbami, a mnożenie liczb jest przemienne:

[
a_ib_i=b_ia_i
]

Jest to szczególna własność, ponieważ mnożenie dowolnych macierzy nie jest na ogół przemienne.

Mnożenie dowolnej macierzy przez macierz diagonalną

Mnożenie przez macierz diagonalną ma bardzo przejrzystą interpretację.

Niech:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

Jeżeli macierz (A) mnożymy przez (D) z prawej strony:

[
AD
]

to (j)-ta kolumna macierzy (A) zostaje pomnożona przez (d_j).

Jeżeli mnożymy z lewej strony:

[
DA
]

to (i)-ty wiersz macierzy (A) zostaje pomnożony przez (d_i).

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 5
\end{bmatrix}
]

Mnożenie z prawej strony daje:

[
AD=
\begin{bmatrix}
2 & 10\
6 & 20
\end{bmatrix}
]

Pierwsza kolumna została pomnożona przez (2), a druga przez (5).

Mnożenie z lewej strony daje:

[
DA=
\begin{bmatrix}
2 & 4\
15 & 20
\end{bmatrix}
]

Pierwszy wiersz został pomnożony przez (2), a drugi przez (5).

Potęgowanie macierzy diagonalnej

Potęgowanie macierzy diagonalnej sprowadza się do podniesienia każdego elementu głównej przekątnej do odpowiedniej potęgi.

Jeżeli:

[
D=\operatorname{diag}(d_1,d_2,\ldots,d_n)
]

to dla dodatniej liczby całkowitej (k):

[
D^k=\operatorname{diag}(d_1^k,d_2^k,\ldots,d_n^k)
]

Przykład:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
0 & 3
\end{bmatrix}
]

[
D^4=
\begin{bmatrix}
2^4 & 0\
0 & 3^4
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
16 & 0\
0 & 81
\end{bmatrix}
]

Nie trzeba wykonywać kolejnych pełnych mnożeń macierzy. Ta własność jest jedną z głównych przyczyn, dla których dąży się do diagonalizowania bardziej złożonych macierzy.

Potęga zerowa

Dla każdej macierzy kwadratowej przyjmuje się:

[
D^0=I
]

o ile rozpatruje się standardowe potęgowanie macierzy.

Potęgi ujemne

Ujemne potęgi można wyznaczać tylko wtedy, gdy macierz diagonalna jest odwracalna, czyli żaden element na jej przekątnej nie jest zerem.

Wówczas:

[
D^{-k}=\operatorname{diag}(d_1^{-k},d_2^{-k},\ldots,d_n^{-k})
]

Wyznacznik macierzy diagonalnej

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wszystkich elementów znajdujących się na głównej przekątnej:

[
\det(D)=d_1d_2\cdots d_n
]

Dla macierzy:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & -3 & 0\
0 & 0 & 5
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
\det(D)=2\cdot(-3)\cdot5=-30
]

Jeżeli choć jeden element diagon