Macierze w matematyce to prostokątne tablice liczb, symboli lub wyrażeń uporządkowanych w wiersze i kolumny. Umożliwiają zwięzłe zapisywanie dużych zbiorów danych, układów równań liniowych oraz przekształceń geometrycznych. Można je dodawać, odejmować, mnożyć, transponować, a w określonych przypadkach również odwracać.

Najważniejsze na początku jest zrozumienie wymiaru macierzy i zasad mnożenia. Dodawanie odbywa się element po elemencie, natomiast przy mnożeniu macierzy oblicza się iloczyny skalarne odpowiednich wierszy i kolumn. Mnożenie jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy odpowiada liczbie wierszy drugiej.

Macierze są podstawowym narzędziem algebry liniowej. Stosuje się je między innymi do rozwiązywania układów równań, opisywania odwzorowań liniowych, analizy danych, statystyki, ekonometrii, informatyki, fizyki i grafiki komputerowej.

Co to jest macierz w matematyce?

Macierz jest uporządkowanym układem elementów zapisanych w nawiasach w formie prostokątnej tablicy. Najczęściej jej elementami są liczby rzeczywiste lub zespolone, ale mogą to być również zmienne, funkcje i inne obiekty matematyczne.

Przykładowa macierz wygląda następująco:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 5 & -1\
0 & 4 & 3
\end{bmatrix}
]

Macierz (A) ma dwa wiersze i trzy kolumny. Mówimy więc, że ma wymiar:

[
2\times3
]

Pierwsza liczba oznacza liczbę wierszy, a druga liczbę kolumn. Kolejności tej nie należy odwracać.

Macierz o (m) wierszach i (n) kolumnach zapisuje się ogólnie jako:

[
A=[a_{ij}]_{m\times n}
]

Symbol (a_{ij}) oznacza element znajdujący się w (i)-tym wierszu i (j)-tej kolumnie.

Dla przykładowej macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
7 & 2 & 6\
1 & 9 & 4
\end{bmatrix}
]

mamy:

[
a_{11}=7,\qquad a_{12}=2,\qquad a_{23}=4
]

Element (a_{23}) znajduje się w drugim wierszu i trzeciej kolumnie.

Wiersze, kolumny i wymiar macierzy

Wiersz jest poziomym ciągiem elementów, natomiast kolumna – ciągiem pionowym.

W macierzy:

[
B=
\begin{bmatrix}
1 & 3\
5 & 7\
9 & 11
\end{bmatrix}
]

wiersze mają postać:

[
[1,3],\quad [5,7],\quad [9,11]
]

Kolumny to:

[
\begin{bmatrix}
1\
5\
9
\end{bmatrix}
\quad\text{oraz}\quad
\begin{bmatrix}
3\
7\
11
\end{bmatrix}
]

Macierz ma trzy wiersze i dwie kolumny, a więc wymiar (3\times2).

Prawidłowe ustalenie wymiaru jest konieczne przed wykonaniem działania. Dwie macierze można dodać tylko wtedy, gdy mają identyczną liczbę wierszy i kolumn. Przy mnożeniu obowiązuje inny warunek, zależny od wewnętrznych wymiarów obu macierzy.

Rodzaje macierzy

Macierze klasyfikuje się według wymiaru, rozmieszczenia elementów i szczególnych własności.

Macierz wierszowa

Macierz wierszowa ma tylko jeden wiersz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]

Jej wymiar to (1\times3).

Macierz wierszowa może być traktowana jako wektor wierszowy.

Macierz kolumnowa

Macierz kolumnowa ma jedną kolumnę:

[
B=
\begin{bmatrix}
2\
4\
6
\end{bmatrix}
]

Jej wymiar to (3\times1).

Taki zapis jest często używany dla wektorów, niewiadomych w układach równań i współrzędnych punktów.

Macierz prostokątna

Macierz prostokątna ma różną liczbę wierszy i kolumn, na przykład:

[
C=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

Jest to macierz (2\times3).

Macierz kwadratowa

Macierz kwadratowa ma taką samą liczbę wierszy i kolumn:

[
D=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]

Jej wymiar to (2\times2). Mówi się również, że jest to macierz drugiego stopnia.

Tylko dla macierzy kwadratowych definiuje się między innymi wyznacznik, główną przekątną, wartości własne i klasyczną macierz odwrotną.

Macierz zerowa

Macierz zerowa zawiera wyłącznie zera:

[
O=
\begin{bmatrix}
0 & 0\
0 & 0
\end{bmatrix}
]

Pełni rolę elementu neutralnego dodawania:

[
A+O=A
]

Macierz jednostkowa

Macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, która ma jedynki na głównej przekątnej i zera poza nią:

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\
0 & 1 & 0\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]

Pełni rolę podobną do liczby (1) w mnożeniu:

[
AI=IA=A
]

dla macierzy o odpowiednich wymiarach.

Macierz diagonalna

W macierzy diagonalnej wszystkie elementy poza główną przekątną są równe zero:

[
D=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
0 & 5 & 0\
0 & 0 & -3
\end{bmatrix}
]

Elementy na przekątnej mogą być dowolne, również równe zero.

Macierz skalarna

Macierz skalarna jest macierzą diagonalną, której wszystkie elementy na głównej przekątnej są takie same:

[
S=
\begin{bmatrix}
4 & 0\
0 & 4
\end{bmatrix}
=4I
]

Macierz górnotrójkątna

Macierz górnotrójkątna ma zera pod główną przekątną:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1\
0 & 5 & 4\
0 & 0 & 7
\end{bmatrix}
]

Macierz dolnotrójkątna

Macierz dolnotrójkątna ma zera nad główną przekątną:

[
B=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0\
3 & 5 & 0\
1 & 4 & 7
\end{bmatrix}
]

Macierz symetryczna

Macierz kwadratowa jest symetryczna, jeżeli:

[
A^T=A
]

Oznacza to, że elementy po przeciwnych stronach głównej przekątnej są równe:

[
a_{ij}=a_{ji}
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\
3 & 2 & 4\
5 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]

Każda rzeczywista macierz diagonalna jest jednocześnie symetryczna.

Kiedy dwie macierze są równe?

Dwie macierze są równe, jeśli:

1. mają takie same wymiary;
2. wszystkie odpowiadające sobie elementy są równe.

Jeżeli:

[
A=
\begin{bmatrix}
a & 2\
3 & b
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5 & 2\
3 & -1
\end{bmatrix}
]

to równość (A=B) zachodzi wtedy, gdy:

[
a=5,\qquad b=-1
]

Sama obecność tych samych liczb nie wystarcza. Muszą one znajdować się na odpowiadających sobie pozycjach.

Dodawanie macierzy

Dodawać można wyłącznie macierze o takich samych wymiarach. Działanie wykonuje się element po elemencie.

Jeżeli:

[
A=[a_{ij}],\qquad B=[b_{ij}]
]

to:

[
A+B=[a_{ij}+b_{ij}]
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}
]

Wówczas:

[
A+B=
\begin{bmatrix}
1+5 & 2+6\
3+7 & 4+8
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
6 & 8\
10 & 12
\end{bmatrix}
]

Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne:

[
A+B=B+A
]

[
(A+B)+C=A+(B+C)
]

pod warunkiem, że wszystkie macierze mają właściwe wymiary.

Odejmowanie macierzy

Odejmowanie również wykonuje się element po elemencie:

[
A-B=[a_{ij}-b_{ij}]
]

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
8 & 5\
4 & 7
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
3 & 1\
6 & 2
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
A-B=
\begin{bmatrix}
5 & 4\
-2 & 5
\end{bmatrix}
]

Macierze muszą mieć ten sam wymiar.

Mnożenie macierzy przez liczbę

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, nazywaną skalarem, należy pomnożyć przez nią każdy element macierzy.

Dla:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & -2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]

mamy:

[
3A=
\begin{bmatrix}
3 & -6\
9 & 12
\end{bmatrix}
]

Ogólnie:

[
kA=[ka_{ij}]
]

Działanie nie zmienia wymiaru macierzy.

Mnożenie macierzy przez macierz

Mnożenie macierzy różni się od dodawania i nie jest wykonywane element po elemencie.

Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m\times n), a macierz (B) wymiar (n\times p), można obliczyć iloczyn:

[
AB
]

Wynik będzie miał wymiar:

[
m\times p
]

Warunek istnienia iloczynu można zapamiętać następująco:

[
(m\times \boxed{n})(\boxed{n}\times p)=m\times p
]

Wewnętrzne wymiary muszą być równe, a zewnętrzne określają wymiar wyniku. Element w (i)-tym wierszu i (j)-tej kolumnie iloczynu jest iloczynem skalarnym (i)-tego wiersza pierwszej macierzy i (j)-tej kolumny drugiej.

Przykład mnożenia macierzy

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
B=
\begin{bmatrix}
5 & 6\
7 & 8
\end{bmatrix}
]

Obliczamy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
1\cdot5+2\cdot7 & 1\cdot6+2\cdot8\
3\cdot5+4\cdot7 & 3\cdot6+4\cdot8
\end{bmatrix}
]

czyli:

[
AB=
\begin{bmatrix}
19 & 22\
43 & 50
\end{bmatrix}
]

Pierwszy element wyniku pochodzi z pierwszego wiersza (A) i pierwszej kolumny (B):

[
1\cdot5+2\cdot7=19
]

Drugi element pierwszego wiersza:

[
1\cdot6+2\cdot8=22
]

W ten sam sposób wyznacza się pozostałe elementy.

Czy mnożenie macierzy jest przemienne?

Zazwyczaj:

[
AB\neq BA
]

W niektórych przypadkach jeden z iloczynów może istnieć, a drugi nie. Nawet jeżeli oba istnieją, mogą mieć różne wartości.

Mnożenie macierzy jest natomiast łączne:

[
A(BC)=(AB)C
]

oraz rozdzielne względem dodawania:

[
A(B+C)=AB+AC
]

[
(A+B)C=AC+BC
]

Nieprzemienność mnożenia jest jedną z najważniejszych różnic między rachunkiem macierzowym a zwykłą arytmetyką liczb.

Transponowanie macierzy

Transponowanie polega na zamianie wierszy na kolumny. Macierz transponowaną do (A) oznacza się przez:

[
A^T
]

Dla:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{bmatrix}
]

Macierz (2\times3) zmieniła się w macierz (3\times2).