Transpozycja macierzy – definicja, przykłady, własności i zastosowania

Transpozycja macierzy polega na zamianie jej wierszy na kolumny. Pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz – drugą kolumną, a kolejne przepisuje się według tej samej zasady. Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m\times n), to macierz transponowana (A^T) ma wymiar (n\times m).

Operacja nie zmienia wartości elementów, lecz ich położenie. Element znajdujący się w (i)-tym wierszu i (j)-tej kolumnie trafia do (j)-tego wiersza i (i)-tej kolumny. Transpozycja jest wykorzystywana między innymi podczas mnożenia macierzy, obliczania iloczynów skalarnych, analizowania macierzy symetrycznych oraz przekształcania danych w programach komputerowych.

Co to jest transpozycja macierzy?

Niech macierz:

[
A=[a_{ij}]
]

ma (m) wierszy i (n) kolumn. Jej transpozycją nazywamy macierz (A^T), dla której:

[
(A^T){ij}=A{ji}
]

Oznacza to zamianę indeksów miejscami. Element (a_{23}), znajdujący się w drugim wierszu i trzeciej kolumnie, po transponowaniu znajdzie się w trzecim wierszu i drugiej kolumnie.

Macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

ma dwa wiersze i trzy kolumny. Po transponowaniu otrzymujemy:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{bmatrix}
]

Pierwszy wiersz ([1,2,3]) stał się pierwszą kolumną, a drugi wiersz ([4,5,6]) – drugą kolumną. Definicja akademicka opisuje tę operację właśnie jako kolejne zapisywanie wierszy macierzy wyjściowej w postaci kolumn macierzy transponowanej.

Jak oznacza się transpozycję?

Najczęściej stosuje się oznaczenie:

[
A^T
]

Można również spotkać:

[
A^{\mathsf T},\qquad A^t,\qquad A’
]

Zapis z apostrofem wymaga ostrożności. W niektórych programach, zwłaszcza przy liczbach zespolonych, może oznaczać transpozycję połączoną ze sprzężeniem zespolonym, a nie zwykłą zamianę wierszy i kolumn.

Jak zmienia się wymiar macierzy?

Transpozycja zamienia liczbę wierszy z liczbą kolumn:

[
A_{m\times n}\longrightarrow A^T_{n\times m}
]

Przykładowo:

• macierz (2\times5) zmienia się w macierz (5\times2);
• macierz (4\times1) zmienia się w macierz (1\times4);
• macierz (3\times3) pozostaje macierzą (3\times3).

W przypadku macierzy kwadratowej wymiar nie zmienia się, ale elementy po przeciwnych stronach głównej przekątnej zamieniają się miejscami.

Jak wykonać transpozycję macierzy krok po kroku?

Najprostsza metoda polega na przepisywaniu kolejnych wierszy w formie kolumn.

Krok 1. Ustal wymiar macierzy

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\
4 & 0 & 7
\end{bmatrix}
]

Ma ona wymiar (2\times3). Wynik musi mieć zatem wymiar (3\times2).

Krok 2. Przepisz pierwszy wiersz jako pierwszą kolumnę

Pierwszy wiersz to:

[
[2,-1,5]
]

Po transponowaniu stanie się kolumną:

[
\begin{bmatrix}
2\
-1\
5
\end{bmatrix}
]

Krok 3. Przepisz drugi wiersz jako drugą kolumnę

Drugi wiersz:

[
[4,0,7]
]

staje się kolumną:

[
\begin{bmatrix}
4\
0\
7
\end{bmatrix}
]

Krok 4. Zapisz gotowy wynik

[
A^T=
\begin{bmatrix}
2 & 4\
-1 & 0\
5 & 7
\end{bmatrix}
]

Warto na końcu sprawdzić wymiary. Macierz wyjściowa miała wymiar (2\times3), a wynik ma prawidłowy wymiar (3\times2).

Transpozycja macierzy kwadratowej

Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn. Po transponowaniu zachowuje swój wymiar, ale jej elementy są odbijane względem głównej przekątnej.

Dla macierzy:

[
B=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
B^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\
2 & 5 & 8\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
]

Elementy głównej przekątnej:

[
1,\quad5,\quad9
]

pozostają na swoich miejscach. Zamieniają się natomiast odpowiednie pary:

[
b_{12}\leftrightarrow b_{21}
]

[
b_{13}\leftrightarrow b_{31}
]

[
b_{23}\leftrightarrow b_{32}
]

Transpozycję macierzy kwadratowej można więc interpretować jako jej odbicie względem głównej przekątnej.

Transpozycja wektora

Wektor może być zapisany jako macierz wierszowa albo kolumnowa. Transpozycja zmienia jego orientację.

Wektor wierszowy:

[
v=
\begin{bmatrix}
3 & 5 & 7
\end{bmatrix}
]

po transponowaniu staje się wektorem kolumnowym:

[
v^T=
\begin{bmatrix}
3\
5\
7
\end{bmatrix}
]

Z kolei:

[
w=
\begin{bmatrix}
2\
4\
6
\end{bmatrix}
]

po transponowaniu przyjmuje postać:

[
w^T=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]

Zmiana orientacji ma znaczenie podczas mnożenia. Iloczyn wektora wierszowego (1\times n) i kolumnowego (n\times1) jest liczbą, natomiast iloczyn kolumny przez wiersz daje macierz (n\times n).

Iloczyn skalarny z wykorzystaniem transpozycji

Jeżeli:

[
x=
\begin{bmatrix}
1\
2\
3
\end{bmatrix},
\qquad
y=
\begin{bmatrix}
4\
5\
6
\end{bmatrix}
]

to iloczyn skalarny można zapisać jako:

[
x^Ty
]

Po transponowaniu (x):

[
x^T=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
x^Ty=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4\
5\
6
\end{bmatrix}
]

[
x^Ty=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32
]

Najważniejsze własności transpozycji macierzy

Transpozycja spełnia kilka reguł, które upraszczają przekształcanie wyrażeń macierzowych.

Dwukrotna transpozycja

Dwukrotne wykonanie operacji przywraca macierz początkową:

[
(A^T)^T=A
]

Pierwsza transpozycja zamienia wiersze na kolumny, a druga ponownie zamienia kolumny w wiersze.

Transpozycja sumy

Dla macierzy (A) i (B) o takich samych wymiarach:

[
(A+B)^T=A^T+B^T
]

Można więc najpierw dodać macierze, a następnie transponować wynik, albo najpierw transponować obie macierze i dopiero potem je dodać.

Analogicznie:

[
(A-B)^T=A^T-B^T
]

Transpozycja iloczynu macierzy przez liczbę

Dla dowolnej liczby (\alpha):

[
(\alpha A)^T=\alpha A^T
]

Pomnożenie elementów przez skalar nie zmienia sposobu przestawiania wierszy i kolumn.

Transpozycja potęgi

Dla macierzy kwadratowej i dodatniej liczby całkowitej (k):

[
(A^k)^T=(A^T)^k
]

Przykładowo:

[
(A^3)^T=(A^T)^3
]

Transpozycja iloczynu

Jedną z najważniejszych własności jest:

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Kolejność czynników musi zostać odwrócona. W materiałach akademickich własność ta jest wymieniana obok liniowości transpozycji i zasady podwójnego transponowania.

Dla trzech macierzy:

[
(ABC)^T=C^TB^TA^T
]

Niepoprawny jest na ogół zapis:

[
(AB)^T=A^TB^T
]

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, dlatego nie można pozostawić czynników w pierwotnej kolejności.

Dlaczego kolejność przy transpozycji iloczynu się odwraca?

Załóżmy, że:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n}
]

oraz:

[
B\in\mathbb{R}^{n\times p}
]

Iloczyn (AB) ma wymiar:

[
m\times p
]

Jego transpozycja ma zatem wymiar:

[
p\times m
]

Po transponowaniu czynników:

[
B^T\in\mathbb{R}^{p\times n}
]

[
A^T\in\mathbb{R}^{n\times m}
]

Iloczyn:

[
B^TA^T
]

jest możliwy i ma wymiar (p\times m), czyli dokładnie taki jak ((AB)^T).

Próba obliczenia (A^TB^T) często nie jest nawet możliwa, ponieważ wewnętrzne wymiary mogą się nie zgadzać.

Przykład obliczeniowy

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
1 & 5
\end{bmatrix}
]

Najpierw obliczamy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Zatem:

[
(AB)^T=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Teraz:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 3\
2 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B^T=
\begin{bmatrix}
2 & 1\
0 & 5
\end{bmatrix}
]

Po pomnożeniu w odwróconej kolejności:

[
B^TA^T=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Otrzymaliśmy zgodnie z regułą:

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Transpozycja a wyznacznik, rząd i ślad

Wyznacznik macierzy transponowanej

Dla macierzy kwadratowej:

[
\det(A^T)=\det(A)
]

Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika. Własność ta jest wymieniana w materiałach akademickich dotyczących wyznaczników i operacji na macierzach.

Rząd macierzy transponowanej

Macierz oraz jej transpozycja mają ten sam rząd:

[
\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)
]

Zamiana wierszy z kolumnami nie zmienia liczby liniowo niezależnych informacji zapisanych w macierzy.

Ślad macierzy transponowanej

Dla macierzy kwadratowej:

[
\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A)
]

Ślad jest sumą elementów głównej przekątnej. Podczas transponowania elementy te pozostają na swoich miejscach.

Transpozycja macierzy odwrotnej

Jeżeli macierz (A) jest odwracalna, zachodzi:

[
(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}
]

Oznacza to, że można najpierw odwrócić macierz i później ją transponować albo wykonać działania w odwrotnej kolejności. Wynik będzie taki sam.

Własność można uzasadnić, transponując równanie:

[
AA^{-1}=I
]

Otrzymujemy:

[
(AA^{-1})^T=I^T
]

Po zastosowaniu reguły transpozycji iloczynu:

[
(A^{-1})^TA^T=I
]

Zatem ((A^{-1})^T) jest macierzą odwrotną do (A^T).

Macierz symetryczna a transpozycja

Macierz kwadratowa jest symetryczna, jeżeli:

[
A^T=A
]

Elementy znajdujące się symetrycznie względem głównej przekątnej muszą być sobie równe:

[
a_{ij}=a_{ji}
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -1\
4 & 5 & 3\
-1 & 3 & 7
\end{bmatrix}
]

Po transponowaniu otrzymujemy tę