Transpozycja macierzy – definicja, przykłady, własności i zastosowania

Transpozycja macierzy polega na zamianie jej wierszy na kolumny. Pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz – drugą kolumną, a kolejne przepisuje się według tej samej zasady. Jeżeli macierz (A) ma wymiar (m\times n), to macierz transponowana (A^T) ma wymiar (n\times m).

Operacja nie zmienia wartości elementów, lecz ich położenie. Element znajdujący się w (i)-tym wierszu i (j)-tej kolumnie trafia do (j)-tego wiersza i (i)-tej kolumny. Transpozycja jest wykorzystywana między innymi podczas mnożenia macierzy, obliczania iloczynów skalarnych, analizowania macierzy symetrycznych oraz przekształcania danych w programach komputerowych.

Co to jest transpozycja macierzy?

Niech macierz:

[
A=[a_{ij}]
]

ma (m) wierszy i (n) kolumn. Jej transpozycją nazywamy macierz (A^T), dla której:

[
(A^T){ij}=A{ji}
]

Oznacza to zamianę indeksów miejscami. Element (a_{23}), znajdujący się w drugim wierszu i trzeciej kolumnie, po transponowaniu znajdzie się w trzecim wierszu i drugiej kolumnie.

Macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6
\end{bmatrix}
]

ma dwa wiersze i trzy kolumny. Po transponowaniu otrzymujemy:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{bmatrix}
]

Pierwszy wiersz ([1,2,3]) stał się pierwszą kolumną, a drugi wiersz ([4,5,6]) – drugą kolumną. Definicja akademicka opisuje tę operację właśnie jako kolejne zapisywanie wierszy macierzy wyjściowej w postaci kolumn macierzy transponowanej.

Jak oznacza się transpozycję?

Najczęściej stosuje się oznaczenie:

[
A^T
]

Można również spotkać:

[
A^{\mathsf T},\qquad A^t,\qquad A’
]

Zapis z apostrofem wymaga ostrożności. W niektórych programach, zwłaszcza przy liczbach zespolonych, może oznaczać transpozycję połączoną ze sprzężeniem zespolonym, a nie zwykłą zamianę wierszy i kolumn.

Jak zmienia się wymiar macierzy?

Transpozycja zamienia liczbę wierszy z liczbą kolumn:

[
A_{m\times n}\longrightarrow A^T_{n\times m}
]

Przykładowo:

• macierz (2\times5) zmienia się w macierz (5\times2);
• macierz (4\times1) zmienia się w macierz (1\times4);
• macierz (3\times3) pozostaje macierzą (3\times3).

W przypadku macierzy kwadratowej wymiar nie zmienia się, ale elementy po przeciwnych stronach głównej przekątnej zamieniają się miejscami.

Jak wykonać transpozycję macierzy krok po kroku?

Najprostsza metoda polega na przepisywaniu kolejnych wierszy w formie kolumn.

Krok 1. Ustal wymiar macierzy

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5\
4 & 0 & 7
\end{bmatrix}
]

Ma ona wymiar (2\times3). Wynik musi mieć zatem wymiar (3\times2).

Krok 2. Przepisz pierwszy wiersz jako pierwszą kolumnę

Pierwszy wiersz to:

[
[2,-1,5]
]

Po transponowaniu stanie się kolumną:

[
\begin{bmatrix}
2\
-1\
5
\end{bmatrix}
]

Krok 3. Przepisz drugi wiersz jako drugą kolumnę

Drugi wiersz:

[
[4,0,7]
]

staje się kolumną:

[
\begin{bmatrix}
4\
0\
7
\end{bmatrix}
]

Krok 4. Zapisz gotowy wynik

[
A^T=
\begin{bmatrix}
2 & 4\
-1 & 0\
5 & 7
\end{bmatrix}
]

Warto na końcu sprawdzić wymiary. Macierz wyjściowa miała wymiar (2\times3), a wynik ma prawidłowy wymiar (3\times2).

Transpozycja macierzy kwadratowej

Macierz kwadratowa ma tyle samo wierszy co kolumn. Po transponowaniu zachowuje swój wymiar, ale jej elementy są odbijane względem głównej przekątnej.

Dla macierzy:

[
B=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
B^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7\
2 & 5 & 8\
3 & 6 & 9
\end{bmatrix}
]

Elementy głównej przekątnej:

[
1,\quad5,\quad9
]

pozostają na swoich miejscach. Zamieniają się natomiast odpowiednie pary:

[
b_{12}\leftrightarrow b_{21}
]

[
b_{13}\leftrightarrow b_{31}
]

[
b_{23}\leftrightarrow b_{32}
]

Transpozycję macierzy kwadratowej można więc interpretować jako jej odbicie względem głównej przekątnej.

Transpozycja wektora

Wektor może być zapisany jako macierz wierszowa albo kolumnowa. Transpozycja zmienia jego orientację.

Wektor wierszowy:

[
v=
\begin{bmatrix}
3 & 5 & 7
\end{bmatrix}
]

po transponowaniu staje się wektorem kolumnowym:

[
v^T=
\begin{bmatrix}
3\
5\
7
\end{bmatrix}
]

Z kolei:

[
w=
\begin{bmatrix}
2\
4\
6
\end{bmatrix}
]

po transponowaniu przyjmuje postać:

[
w^T=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6
\end{bmatrix}
]

Zmiana orientacji ma znaczenie podczas mnożenia. Iloczyn wektora wierszowego (1\times n) i kolumnowego (n\times1) jest liczbą, natomiast iloczyn kolumny przez wiersz daje macierz (n\times n).

Iloczyn skalarny z wykorzystaniem transpozycji

Jeżeli:

[
x=
\begin{bmatrix}
1\
2\
3
\end{bmatrix},
\qquad
y=
\begin{bmatrix}
4\
5\
6
\end{bmatrix}
]

to iloczyn skalarny można zapisać jako:

[
x^Ty
]

Po transponowaniu (x):

[
x^T=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
x^Ty=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4\
5\
6
\end{bmatrix}
]

[
x^Ty=1\cdot4+2\cdot5+3\cdot6=32
]

Najważniejsze własności transpozycji macierzy

Transpozycja spełnia kilka reguł, które upraszczają przekształcanie wyrażeń macierzowych.

Dwukrotna transpozycja

Dwukrotne wykonanie operacji przywraca macierz początkową:

[
(A^T)^T=A
]

Pierwsza transpozycja zamienia wiersze na kolumny, a druga ponownie zamienia kolumny w wiersze.

Transpozycja sumy

Dla macierzy (A) i (B) o takich samych wymiarach:

[
(A+B)^T=A^T+B^T
]

Można więc najpierw dodać macierze, a następnie transponować wynik, albo najpierw transponować obie macierze i dopiero potem je dodać.

Analogicznie:

[
(A-B)^T=A^T-B^T
]

Transpozycja iloczynu macierzy przez liczbę

Dla dowolnej liczby (\alpha):

[
(\alpha A)^T=\alpha A^T
]

Pomnożenie elementów przez skalar nie zmienia sposobu przestawiania wierszy i kolumn.

Transpozycja potęgi

Dla macierzy kwadratowej i dodatniej liczby całkowitej (k):

[
(A^k)^T=(A^T)^k
]

Przykładowo:

[
(A^3)^T=(A^T)^3
]

Transpozycja iloczynu

Jedną z najważniejszych własności jest:

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Kolejność czynników musi zostać odwrócona. W materiałach akademickich własność ta jest wymieniana obok liniowości transpozycji i zasady podwójnego transponowania.

Dla trzech macierzy:

[
(ABC)^T=C^TB^TA^T
]

Niepoprawny jest na ogół zapis:

[
(AB)^T=A^TB^T
]

Mnożenie macierzy nie jest przemienne, dlatego nie można pozostawić czynników w pierwotnej kolejności.

Dlaczego kolejność przy transpozycji iloczynu się odwraca?

Załóżmy, że:

[
A\in\mathbb{R}^{m\times n}
]

oraz:

[
B\in\mathbb{R}^{n\times p}
]

Iloczyn (AB) ma wymiar:

[
m\times p
]

Jego transpozycja ma zatem wymiar:

[
p\times m
]

Po transponowaniu czynników:

[
B^T\in\mathbb{R}^{p\times n}
]

[
A^T\in\mathbb{R}^{n\times m}
]

Iloczyn:

[
B^TA^T
]

jest możliwy i ma wymiar (p\times m), czyli dokładnie taki jak ((AB)^T).

Próba obliczenia (A^TB^T) często nie jest nawet możliwa, ponieważ wewnętrzne wymiary mogą się nie zgadzać.

Przykład obliczeniowy

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2\
3 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B=
\begin{bmatrix}
2 & 0\
1 & 5
\end{bmatrix}
]

Najpierw obliczamy:

[
AB=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Zatem:

[
(AB)^T=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Teraz:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1 & 3\
2 & 4
\end{bmatrix},
\qquad
B^T=
\begin{bmatrix}
2 & 1\
0 & 5
\end{bmatrix}
]

Po pomnożeniu w odwróconej kolejności:

[
B^TA^T=
\begin{bmatrix}
4 & 10\
10 & 20
\end{bmatrix}
]

Otrzymaliśmy zgodnie z regułą:

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Transpozycja a wyznacznik, rząd i ślad

Wyznacznik macierzy transponowanej

Dla macierzy kwadratowej:

[
\det(A^T)=\det(A)
]

Transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika. Własność ta jest wymieniana w materiałach akademickich dotyczących wyznaczników i operacji na macierzach.

Rząd macierzy transponowanej

Macierz oraz jej transpozycja mają ten sam rząd:

[
\operatorname{rank}(A^T)=\operatorname{rank}(A)
]

Zamiana wierszy z kolumnami nie zmienia liczby liniowo niezależnych informacji zapisanych w macierzy.

Ślad macierzy transponowanej

Dla macierzy kwadratowej:

[
\operatorname{tr}(A^T)=\operatorname{tr}(A)
]

Ślad jest sumą elementów głównej przekątnej. Podczas transponowania elementy te pozostają na swoich miejscach.

Transpozycja macierzy odwrotnej

Jeżeli macierz (A) jest odwracalna, zachodzi:

[
(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}
]

Oznacza to, że można najpierw odwrócić macierz i później ją transponować albo wykonać działania w odwrotnej kolejności. Wynik będzie taki sam.

Własność można uzasadnić, transponując równanie:

[
AA^{-1}=I
]

Otrzymujemy:

[
(AA^{-1})^T=I^T
]

Po zastosowaniu reguły transpozycji iloczynu:

[
(A^{-1})^TA^T=I
]

Zatem ((A^{-1})^T) jest macierzą odwrotną do (A^T).

Macierz symetryczna a transpozycja

Macierz kwadratowa jest symetryczna, jeżeli:

[
A^T=A
]

Elementy znajdujące się symetrycznie względem głównej przekątnej muszą być sobie równe:

[
a_{ij}=a_{ji}
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -1\
4 & 5 & 3\
-1 & 3 & 7
\end{bmatrix}
]

Po transponowaniu otrzymujemy tę samą macierz, dlatego (A) jest symetryczna.

Definicja macierzy symetrycznej jako macierzy równej własnej transpozycji jest standardowym następstwem definicji transpozycji.

Macierz antysymetryczna

Macierz kwadratowa jest antysymetryczna, gdy:

[
A^T=-A
]

Przykład:

[
A=
\begin{bmatrix}
0 & 2 & -3\
-2 & 0 & 5\
3 & -5 & 0
\end{bmatrix}
]

Elementy po przeciwnych stronach głównej przekątnej mają przeciwne znaki. Na samej przekątnej muszą znajdować się zera.

Dlaczego macierze (A^TA) i (AA^T) są symetryczne?

Dla dowolnej rzeczywistej macierzy (A) można utworzyć dwa iloczyny:

[
A^TA
]

oraz:

[
AA^T
]

Oba są macierzami kwadratowymi i symetrycznymi.

Dla pierwszego iloczynu:

[
(A^TA)^T=A^T(A^T)^T=A^TA
]

Dla drugiego:

[
(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T
]

Wymiary tych macierzy mogą być jednak różne. Jeżeli (A) ma wymiar (m\times n), to:

[
A^TA
]

ma wymiar (n\times n), a:

[
AA^T
]

ma wymiar (m\times m).

Macierze tego rodzaju pojawiają się między innymi w analizie danych, metodzie najmniejszych kwadratów oraz badaniu iloczynów skalarnych kolumn i wierszy.

Transpozycja a macierz odwrotna

Transpozycja i odwracanie macierzy są odrębnymi operacjami.

Macierz transponowana:

[
A^T
]

powstaje przez zamianę wierszy i kolumn. Można ją wyznaczyć dla każdej macierzy, również prostokątnej.

Macierz odwrotna:

[
A^{-1}
]

istnieje jedynie dla niektórych macierzy kwadratowych i spełnia warunek:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I
]

Nie można więc automatycznie zakładać, że:

[
A^T=A^{-1}
]

Kiedy transpozycja jest równa odwrotności?

Równość:

[
A^T=A^{-1}
]

zachodzi dla macierzy ortogonalnych. Spełniają one warunek:

[
A^TA=AA^T=I
]

Macierze ortogonalne są wykorzystywane między innymi do opisywania obrotów i odbić w przestrzeni euklidesowej.

Zwykła transpozycja a sprzężenie hermitowskie

Dla macierzy rzeczywistych zwykła transpozycja jest zazwyczaj jedyną potrzebną operacją. Przy macierzach zespolonych należy rozróżnić:

• zwykłą transpozycję;
• transpozycję ze sprzężeniem zespolonym.

Dla macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
1+i & 2\
3i & 4-i
\end{bmatrix}
]

zwykła transpozycja wynosi:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
1+i & 3i\
2 & 4-i
\end{bmatrix}
]

Sprzężenie hermitowskie wymaga dodatkowo zmiany znaku części urojonej:

[
A^H=
\begin{bmatrix}
1-i & -3i\
2 & 4+i
\end{bmatrix}
]

W MATLAB-ie operator A.' oraz funkcja transpose(A) wykonują transpozycję bez sprzężenia. Operator A' dla elementów zespolonych wykonuje natomiast transpozycję połączoną ze sprzężeniem zespolonym.

Do czego służy transpozycja macierzy?

Dopasowanie wymiarów przed mnożeniem

Macierze można mnożyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn pierwszego czynnika jest równa liczbie wierszy drugiego. Transpozycja pozwala zmienić orientację macierzy lub wektora, aby działanie było wykonalne.

Nie oznacza to jednak, że macierz można transponować dowolnie tylko po to, aby „zgadzały się wymiary”. Operacja zmienia matematyczne znaczenie danych i musi wynikać z konstrukcji zadania.

Iloczyny skalarne i macierze Grama

Iloczyn:

[
A^TA
]

zawiera iloczyny skalarne kolumn macierzy (A). Z kolei:

[
AA^T
]

opisuje iloczyny skalarne jej wierszy.

Tego typu macierze pozwalają analizować długości, kąty i zależności pomiędzy wektorami.

Metoda najmniejszych kwadratów

W problemach, w których układ:

[
Ax=b
]

nie ma dokładnego rozwiązania, często szuka się rozwiązania najlepiej przybliżającego dane. Prowadzi to do równań normalnych:

[
A^TAx=A^Tb
]

Transpozycja umożliwia utworzenie kwadratowej macierzy (A^TA) i zapisanie warunku minimalizującego błąd.

Analiza danych

Dane są często zapisywane w tabeli, w której:

• wiersze oznaczają obserwacje;
• kolumny oznaczają cechy.

Niektóre procedury wymagają odwrotnego układu. Transpozycja zmienia orientację danych bez zmieniania wartości poszczególnych elementów.

Statystyka i uczenie maszynowe

Transpozycje występują w obliczeniach związanych z regresją, macierzami kowariancji, iloczynami wektorowymi, gradientami oraz przekształcaniem parametrów modeli.

Grafika komputerowa

Macierze opisują obroty, skalowanie, rzuty i zmianę układu współrzędnych. Transpozycja jest szczególnie ważna przy macierzach ortogonalnych, dla których może być jednocześnie macierzą odwrotną.

Jak wykonać transpozycję w Excelu?

W polskiej wersji programu Excel można użyć funkcji:

=TRANSPONUJ(A1:C2)

Funkcja zamienia wiersze wskazanego zakresu na kolumny. W Excelu 365 i nowszych wersjach wynik rozlewa się automatycznie na odpowiednią liczbę komórek. W starszych wersjach funkcja mogła wymagać zatwierdzenia jako formuła tablicowa.

Dostępna jest również opcja wklejania specjalnego z transpozycją. Różnica polega na tym, że:

• funkcja TRANSPONUJ może zachować powiązanie z zakresem źródłowym;
• wklejanie specjalne tworzy statyczną kopię danych.

Po zmianie komórek źródłowych wynik wklejony jako zwykła transpozycja nie aktualizuje się automatycznie.

Transpozycja macierzy w Pythonie

W bibliotece NumPy dla tablicy dwuwymiarowej można użyć:

A.T

albo:

np.transpose(A)

Dla tablicy o dwóch wymiarach jest to standardowa transpozycja macierzy. W przypadku tablic wielowymiarowych funkcja może służyć do zmiany kolejności osi.

Przykład:

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

Po zastosowaniu:

A.T

otrzymuje się układ odpowiadający macierzy:

[
\begin{bmatrix}
1 & 4\
2 & 5\
3 & 6
\end{bmatrix}
]

Dlaczego .T nie zmienia jednowymiarowej tablicy?

Jednowymiarowa tablica NumPy ma kształt:

(n,)

Nie jest formalnie zapisana jako wiersz (1\times n) ani kolumna (n\times1). Zastosowanie .T nie zmienia więc jej kształtu.

Aby utworzyć kolumnę, można użyć na przykład:

a[:, np.newaxis]

albo:

np.atleast_2d(a).T

Takie zachowanie jest opisane w oficjalnej dokumentacji NumPy.

Transpozycja w MATLAB-ie

W MATLAB-ie zwykłą transpozycję można wykonać przez:

B = A.'

albo:

B = transpose(A)

Operacja zamienia indeks wiersza z indeksem kolumny każdego elementu. Dla macierzy zawierającej liczby zespolone nie zmienia znaków części urojonych.

Operator:

A'

wykonuje sprzężenie hermitowskie, dlatego przy liczbach zespolonych nie jest równoważny z A.'. Dla macierzy rzeczywistych oba wyniki są takie same.

Najczęstsze błędy podczas transponowania macierzy

Odwracanie kolejności elementów

Wiersz:

[
[1,2,3]
]

powinien stać się kolumną:

[
\begin{bmatrix}
1\
2\
3
\end{bmatrix}
]

Nie należy zapisywać go jako:

[
\begin{bmatrix}
3\
2\
1
\end{bmatrix}
]

Transpozycja nie odwraca kolejności elementów.

Obracanie macierzy o 90 stopni

Transpozycja nie jest obrotem geometrycznym. Przy obrocie kolejność elementów zmienia się inaczej. Transpozycję można interpretować jako odbicie względem głównej przekątnej.

Niezmienianie wymiarów

Macierz (2\times4) po transponowaniu musi mieć wymiar (4\times2). Zachowanie wymiaru (2\times4) oznacza, że działanie wykonano niepoprawnie.

Błędna transpozycja iloczynu

Poprawny wzór to:

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Nie można pominąć zmiany kolejności.

Mylenie transpozycji z odwrotnością

Macierz transponowana istnieje zawsze, natomiast odwrotna tylko dla wybranych macierzy kwadratowych. Są to różne obiekty.

Pomijanie sprzężenia zespolonego

W zadaniach zawierających liczby zespolone należy ustalić, czy potrzebna jest zwykła transpozycja, czy sprzężenie hermitowskie.

Bezrefleksyjne transponowanie danych

Zmiana orientacji macierzy może sprawić, że obliczenie stanie się technicznie wykonalne, ale straci sens. Wiersze i kolumny często reprezentują inne rodzaje informacji, dlatego ich zamiana powinna mieć uzasadnienie.

Jak sprawdzić poprawność transpozycji?

Po wykonaniu działania warto zastosować cztery szybkie kontrole.

1. Liczba wierszy wyniku powinna być równa liczbie kolumn macierzy początkowej.
2. Liczba kolumn wyniku powinna być równa liczbie jej wierszy.
3. Element (a_{ij}) powinien znajdować się w pozycji (a_{ji}).
4. Ponowne transponowanie powinno zwrócić macierz wyjściową:

[
(A^T)^T=A
]

W macierzy kwadratowej można dodatkowo sprawdzić, czy elementy głównej przekątnej pozostały na swoich miejscach.

Krótkie zadania z transpozycji macierzy

Zadanie 1

Wyznacz transpozycję macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
3 & 1\
5 & 2\
7 & 4
\end{bmatrix}
]

Odpowiedź:

[
A^T=
\begin{bmatrix}
3 & 5 & 7\
1 & 2 & 4
\end{bmatrix}
]

Zadanie 2

Wyznacz (B^T), jeżeli:

[
B=
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0\
4 & 3 & 6
\end{bmatrix}
]

Odpowiedź:

[
B^T=
\begin{bmatrix}
1 & 4\
-2 & 3\
0 & 6
\end{bmatrix}
]

Zadanie 3

Sprawdź, czy macierz jest symetryczna:

[
C=
\begin{bmatrix}
2 & 5\
5 & 7
\end{bmatrix}
]

Transpozycja wynosi:

[
C^T=
\begin{bmatrix}
2 & 5\
5 & 7
\end{bmatrix}
]

Ponieważ:

[
C^T=C
]

macierz jest symetryczna.

Zadanie 4

Uprość wyrażenie:

[
(ABC)^T
]

Odpowiedź:

[
(ABC)^T=C^TB^TA^T
]

Kolejność wszystkich czynników zostaje odwrócona.

Transpozycja macierzy – najważniejsze informacje

Transpozycja macierzy polega na zamianie jej wierszy na kolumny. Macierz o wymiarze (m\times n) po transponowaniu ma wymiar (n\times m), a element (a_{ij}) trafia na pozycję (a_{ji}).

Najważniejsze własności to:

[
(A^T)^T=A
]

[
(A+B)^T=A^T+B^T
]

[
(\alpha A)^T=\alpha A^T
]

[
(AB)^T=B^TA^T
]

Dla macierzy kwadratowej transpozycja nie zmienia wyznacznika ani śladu. Macierz jest symetryczna, gdy (A^T=A), a antysymetryczna, gdy (A^T=-A). Transpozycję stosuje się między innymi w iloczynach skalarnych, analizie danych, statystyce, metodzie najmniejszych kwadratów i programowaniu.

FAQ – transpozycja macierzy

Co to jest transpozycja macierzy?

Transpozycja macierzy polega na zamianie jej wierszy na kolumny. Pierwszy wiersz staje się pierwszą kolumną, drugi – drugą kolumną i tak dalej. Element znajdujący się w pozycji (a_{ij}) trafia do pozycji (a_{ji}), a wymiar (m\times n) zmienia się na (n\times m).

Jak oznacza się macierz transponowaną?

Macierz transponowaną do (A) oznacza się najczęściej jako (A^T) lub (A^{\mathsf T}). Można również spotkać zapis (A^t) albo (A’). Apostrof wymaga ostrożności w programach obliczeniowych, ponieważ przy liczbach zespolonych może oznaczać transpozycję połączoną ze sprzężeniem.

Jak transponować macierz 2 × 3?

Każdy z dwóch wierszy należy zapisać jako osobną kolumnę. Jeżeli macierz ma wiersze ([a,b,c]) oraz ([d,e,f]), to jej transpozycja ma wiersze ([a,d]), ([b,e]) i ([c,f]). Wymiar zmienia się z (2\times3) na (3\times2).

Co daje podwójna transpozycja?

Dwukrotne transponowanie przywraca macierz początkową, dlatego ((A^T)^T=A). Pierwsza operacja zamienia wiersze na kolumny, a druga ponownie zmienia je w wiersze. Własność jest przydatna do sprawdzania ręcznych obliczeń oraz przekształcania dłuższych wyrażeń macierzowych.

Jak transponować iloczyn macierzy?

Transpozycję iloczynu oblicza się według wzoru ((AB)^T=B^TA^T). Każdy czynnik należy transponować, a następnie odwrócić ich kolejność. Dla trzech macierzy otrzymujemy ((ABC)^T=C^TB^TA^T). Pozostawienie pierwotnej kolejności jest zazwyczaj błędem.

Czym transpozycja różni się od macierzy odwrotnej?

Transpozycja jedynie zamienia wiersze z kolumnami i istnieje dla każdej macierzy. Macierz odwrotna istnieje tylko dla niektórych macierzy kwadratowych i spełnia warunek (AA^{-1}=I). Transpozycja jest równa odwrotności wyłącznie dla szczególnych macierzy ortogonalnych.

Jak wykonać transpozycję macierzy w Excelu?

W polskim Excelu można użyć formuły =TRANSPONUJ(zakres), na przykład =TRANSPONUJ(A1:C2). W nowych wersjach wynik automatycznie wypełni odpowiedni obszar. Można też skorzystać z wklejania specjalnego, ale wtedy powstaje statyczna kopia, która nie aktualizuje się wraz ze źródłem.