Macierz jednostkowa – co to jest, jak wygląda i jakie ma właściwości?

Macierz jednostkowa to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy na głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy wynoszą 0. Oznacza się ją najczęściej symbolem (I) lub (I_n), gdzie (n) określa liczbę wierszy i kolumn.

Jej najważniejsza właściwość polega na tym, że nie zmienia macierzy podczas mnożenia. Pełni więc w rachunku macierzowym podobną funkcję jak liczba 1 w zwykłym mnożeniu. Dla macierzy o odpowiednich wymiarach zachodzi:

[
AI=A
]

oraz:

[
IA=A.
]

Macierz jednostkowa jest potrzebna między innymi do definiowania macierzy odwrotnej, rozwiązywania układów równań, zapisywania przekształcenia tożsamościowego i wyznaczania wartości własnych.

Co to jest macierz jednostkowa?

Macierz jednostkowa jest szczególnym rodzajem macierzy kwadratowej. Musi mieć tyle samo wierszy co kolumn. Jej elementy spełniają warunek:

[
a_{ij}=
\begin{cases}
1, & \text{gdy } i=j,\
0, & \text{gdy } i\neq j.
\end{cases}
]

Indeksy (i) oraz (j) oznaczają odpowiednio numer wiersza i kolumny. Gdy są takie same, element leży na głównej przekątnej i ma wartość 1. W pozostałych miejscach występują zera.

Ogólną postać macierzy jednostkowej stopnia (n) można zapisać jako:

[
I_n=
\begin{bmatrix}
1&0&0&\cdots&0\
0&1&0&\cdots&0\
0&0&1&\cdots&0\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
0&0&0&\cdots&1
\end{bmatrix}.
]

Macierz (I_n) ma wymiar:

[
n\times n.
]

W literaturze anglojęzycznej występują określenia „identity matrix” oraz, rzadziej, „unit matrix”. Pierwsze z nich jest jednoznaczne. Nie należy natomiast mylić macierzy jednostkowej z macierzą unitarną, która jest innym pojęciem algebry liniowej.

Jak wygląda macierz jednostkowa?

Wygląd macierzy zależy od jej stopnia, czyli liczby wierszy i kolumn. Układ jedynek oraz zer pozostaje jednak zawsze taki sam.

Macierz jednostkowa stopnia pierwszego

Najmniejsza macierz jednostkowa ma postać:

[
I_1=
\begin{bmatrix}
1
\end{bmatrix}.
]

Jest to macierz (1\times1), zawierająca tylko jeden element.

Macierz jednostkowa 2 × 2

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Jedynki znajdują się na pozycjach (a_{11}) i (a_{22}). Wszystkie pozostałe elementy są zerami.

Macierz jednostkowa 3 × 3

[
I_3=
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Główna przekątna biegnie od lewego górnego do prawego dolnego rogu macierzy.

Macierz jednostkowa 4 × 4

[
I_4=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\
0&1&0&0\
0&0&1&0\
0&0&0&1
\end{bmatrix}.
]

W macierzy jednostkowej stopnia (n) występuje dokładnie (n) jedynek. Liczba pozostałych elementów, równych zero, wynosi:

[
n^2-n.
]

Definicja pozostaje taka sama niezależnie od wielkości macierzy: jedynki leżą na głównej przekątnej, a poza nią znajdują się wyłącznie zera.

Dlaczego macierz jednostkowa musi być kwadratowa?

Standardowa macierz jednostkowa jest macierzą kwadratową, ponieważ ma być elementem neutralnym mnożenia macierzy. Aby można ją było pomnożyć przez tę samą macierz zarówno z lewej, jak i z prawej strony bez zmiany wyniku, jej rozmiar musi być odpowiednio dopasowany.

Dla kwadratowej macierzy (A) stopnia (n):

[
A_{n\times n}I_n=A
]

oraz:

[
I_nA_{n\times n}=A.
]

W przypadku macierzy prostokątnej potrzebne są dwie macierze jednostkowe o różnych rozmiarach. Jeżeli:

[
A_{m\times n},
]

to:

[
I_mA=A
]

oraz:

[
AI_n=A.
]

Macierz stojąca z lewej strony musi mieć rozmiar (m\times m), natomiast macierz stojąca z prawej strony – (n\times n).

Przykładowo dla macierzy (A) o wymiarze (2\times3):

[
I_2A=A
]

oraz:

[
AI_3=A.
]

Nie można zastąpić obu tych macierzy jednym obiektem o takim samym rozmiarze, ponieważ wymiary iloczynów byłyby niezgodne. Właśnie dlatego pojęcie neutralnego elementu mnożenia odnosi się standardowo do kwadratowych macierzy jednostkowych.

Macierz jednostkowa jako element neutralny mnożenia

Najważniejsza cecha macierzy jednostkowej przypomina własność liczby 1:

[
a\cdot1=1\cdot a=a.
]

W przypadku macierzy zachodzi analogiczna zależność:

[
AI=IA=A,
]

o ile wymiary wszystkich macierzy pozwalają wykonać działania.

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}
]

oraz:

[
I_2=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Obliczamy iloczyn:

[
AI_2=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Pierwszy element wyniku wynosi:

[
2\cdot1+3\cdot0=2.
]

Drugi element pierwszego wiersza:

[
2\cdot0+3\cdot1=3.
]

Analogicznie otrzymujemy:

[
AI_2=
\begin{bmatrix}
2&3\
4&5
\end{bmatrix}=A.
]

Po zmianie kolejności także otrzymamy:

[
I_2A=A.
]

Nie wynika to z przemienności mnożenia macierzy, ponieważ mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne. Jest to szczególna własność macierzy jednostkowej, która działa neutralnie zarówno z lewej, jak i z prawej strony.

Mnożenie macierzy prostokątnej przez macierz jednostkową

W przypadku macierzy prostokątnej szczególnie ważny jest dobór właściwego rozmiaru macierzy jednostkowej.

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A) ma wymiar (2\times3). Aby pomnożyć ją przez macierz jednostkową z prawej strony, trzeba zastosować (I_3):

[
AI_3=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&0&0\
0&1&0\
0&0&1
\end{bmatrix}.
]

Wynik wynosi:

[
AI_3=
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Przy mnożeniu z lewej strony potrzebna jest macierz (I_2):

[
I_2A=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2&-1&4\
0&3&5
\end{bmatrix}.
]

Ponownie otrzymujemy:

[
I_2A=A.
]

Ten przykład pokazuje, dlaczego przy zapisie (AI=A) nie zawsze wystarczy użyć samego symbolu (I). Gdy rozmiar nie wynika jednoznacznie z kontekstu, bezpieczniej zapisać (I_m) lub (I_n).

Najważniejsze właściwości macierzy jednostkowej

Macierz jednostkowa ma szereg właściwości wynikających bezpośrednio z jej budowy oraz roli w mnożeniu macierzy.

Jest macierzą diagonalną

Macierz diagonalna ma zera poza główną przekątną. Macierz jednostkowa spełnia ten warunek, dlatego jest szczególnym przypadkiem macierzy diagonalnej:

[
I_n=\operatorname{diag}(1,1,\ldots,1).
]

Nie każda macierz diagonalna jest jednak jednostkowa. Przykładowo:

[
D=
\begin{bmatrix}
2&0\
0&5
\end{bmatrix}
]

jest diagonalna, ale nie jest jednostkowa, ponieważ elementy na jej głównej przekątnej nie są równe 1.

Jest macierzą symetryczną

Transpozycja zamienia wiersze macierzy w kolumny. W przypadku macierzy jednostkowej operacja ta nie zmienia jej postaci:

[
I_n^T=I_n.
]

Macierz jednostkowa jest zatem macierzą symetryczną.

Jest własną macierzą odwrotną

Macierz odwrotna (A^{-1}) spełnia warunek:

[
AA^{-1}=A^{-1}A=I.
]

Dla macierzy jednostkowej:

[
I_nI_n=I_n,
]

dlatego:

[
I_n^{-1}=I_n.
]

Odwrócenie macierzy jednostkowej nie zmienia jej.

Jej wyznacznik wynosi 1

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem elementów znajdujących się na głównej przekątnej. W macierzy jednostkowej wszystkie te elementy są równe 1:

[
\det(I_n)=1\cdot1\cdot\ldots\cdot1=1.
]

Niezerowy wyznacznik potwierdza, że macierz jednostkowa jest odwracalna i ma pełny rząd.

Jej rząd jest maksymalny

Każdy wiersz macierzy jednostkowej zawiera jedynkę na innej pozycji. Wiersze są więc liniowo niezależne. To samo dotyczy kolumn.

Dla macierzy stopnia (n):

[
\operatorname{rank}(I_n)=n.
]

Macierz jednostkowa ma zatem pełny rząd.

Jej ślad jest równy stopniowi macierzy

Ślad macierzy to suma elementów leżących na głównej przekątnej. Ponieważ macierz (I_n) zawiera na niej (n) jedynek:

[
\operatorname{tr}(I_n)=n.
]

Przykładowo:

[
\operatorname{tr}(I_4)=1+1+1+1=4.
]

Każda jej wartość własna wynosi 1

Jeżeli (v) jest dowolnym niezerowym wektorem, to:

[
I_nv=v.
]

Można to zapisać jako:

[
I_nv=1\cdot v.
]

Oznacza to, że każdy niezerowy wektor jest wektorem własnym macierzy jednostkowej, a odpowiadająca mu wartość własna wynosi 1.

Jest macierzą ortogonalną

Dla rzeczywistej macierzy ortogonalnej zachodzi:

[
A^TA=I.
]

Ponieważ:

[
I_n^T=I_n
]

oraz:

[
I_nI_n=I_n,
]

macierz jednostkowa jest ortogonalna. W przestrzeni zespolonej jest również macierzą unitarną.

Jest macierzą idempotentną

Macierz jest idempotentna, jeżeli:

[
A^2=A.
]

Macierz jednostkowa spełnia tę zależność:

[
I_n^2=I_n.
]

Co więcej, dla każdej dodatniej liczby całkowitej (k):

[
I_n^k=I_n.
]

Nie każda macierz idempotentna jest jednak jednostkowa. Przykładowo macierze projekcji także mogą spełniać warunek (P^2=P).

Potęgowanie macierzy jednostkowej

Potęga macierzy oznacza jej wielokrotne mnożenie przez samą siebie. Dla macierzy jednostkowej:

[
I_n^2=I_n\cdot I_n=I_n,
]

[
I_n^3=I_n\cdot I_n\cdot I_n=I_n.
]

Ogólnie:

[
I_n^k=I_n
]

dla każdej dodatniej liczby całkowitej (k).

Zgodnie z przyjętą definicją zerowej potęgi macierzy kwadratowej:

[
I_n^0=I_n.
]

Macierz jednostkowa pozostaje więc taka sama bez względu na wykładnik będący nieujemną liczbą całkowitą.

Macierz jednostkowa a macierz odwrotna

Macierz jednostkowa jest niezbędna do zdefiniowania macierzy odwrotnej. Macierz (B) jest odwrotna do macierzy (A), jeżeli:

[
AB=BA=I.
]

Macierz odwrotną oznacza się jako (A^{-1}), dlatego:

[
AA^{-1}=A^{