Wartości własne macierzy to liczby opisujące, jak dane przekształcenie liniowe działa w swoich szczególnych kierunkach. Jeżeli dla macierzy (A) istnieje niezerowy wektor (v), dla którego:

[
Av=\lambda v,
]

to liczbę (\lambda) nazywamy wartością własną macierzy, a (v) odpowiadającym jej wektorem własnym. Macierz nie zmienia wtedy kierunku wektora (v), lecz jedynie go wydłuża, skraca, odwraca albo zeruje.

Aby obliczyć wartości własne, rozwiązuje się równanie charakterystyczne:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Jego rozwiązaniami są poszukiwane wartości (\lambda). Następnie dla każdej z nich rozwiązuje się układ:

[
(A-\lambda I)v=0,
]

aby znaleźć odpowiadające wektory własne. MIT OpenCourseWare przedstawia wartości i wektory własne właśnie jako sposób opisania sytuacji, w której iloczyn (Av) pozostaje w kierunku wektora (v).

Co to są wartości własne macierzy?

Niech (A) będzie macierzą kwadratową stopnia (n). Liczba (\lambda) jest wartością własną macierzy (A), jeżeli istnieje niezerowy wektor (v), który spełnia równanie:

[
Av=\lambda v.
]

Wektor (v) nazywa się wtedy wektorem własnym odpowiadającym wartości (\lambda).

Najważniejsze jest to, że po pomnożeniu przez macierz wektor własny nie zostaje skierowany w całkowicie inną stronę. Wynik nadal leży na tej samej prostej co wektor początkowy.

Wartość własna wskazuje, co dzieje się z długością i zwrotem wektora:

• gdy (\lambda>1), wektor zostaje wydłużony;
• gdy (0<\lambda<1), zostaje skrócony;
• gdy (\lambda<0), dodatkowo zmienia zwrot;
• gdy (\lambda=1), pozostaje bez zmiany;
• gdy (\lambda=0), zostaje przekształcony w wektor zerowy.

Przykładowo, jeśli:

[
Av=3v,
]

to (v) jest wektorem własnym, a (3) wartością własną. Macierz trzykrotnie wydłuża ten wektor, nie zmieniając jego kierunku.

Dlaczego wektor własny nie może być zerowy?

Wektor zerowy spełnia równanie:

[
A0=\lambda0
]

dla każdej macierzy i dowolnej liczby (\lambda). Nie dostarcza więc żadnej informacji o działaniu macierzy.

Z tego powodu w definicji wyraźnie wymaga się:

[
v\neq0.
]

Wartość własna musi być powiązana z co najmniej jednym niezerowym wektorem.

Geometryczne znaczenie wartości własnych

Macierz można traktować jako opis przekształcenia przestrzeni. Może ona obracać, rozciągać, ściskać, odbijać albo spłaszczać wektory.

Większość kierunków po takim przekształceniu zmienia swoje położenie. Kierunki wyznaczane przez wektory własne są szczególne, ponieważ pozostają niezmienione — z dokładnością do długości i zwrotu.

Rozważmy macierz:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&0\
0&3
\end{bmatrix}.
]

Dla wektora:

[
v_1=
\begin{bmatrix}
1\
0
\end{bmatrix}
]

otrzymujemy:

[
Av_1=
\begin{bmatrix}
2\
0
\end{bmatrix}
=2v_1.
]

Wartością własną jest więc (2).

Dla wektora:

[
v_2=
\begin{bmatrix}
0\
1
\end{bmatrix}
]

mamy:

[
Av_2=
\begin{bmatrix}
0\
3
\end{bmatrix}
=3v_2.
]

Druga wartość własna wynosi (3).

Macierz dwukrotnie rozciąga przestrzeń w kierunku osi poziomej i trzykrotnie w kierunku osi pionowej. Wektory leżące na tych osiach są jej wektorami własnymi.

Jak obliczyć wartości własne macierzy?

Podstawowa procedura składa się z kilku kroków:

1. sprawdź, czy macierz jest kwadratowa;
2. utwórz macierz (A-\lambda I);
3. oblicz jej wyznacznik;
4. przyrównaj wyznacznik do zera;
5. rozwiąż otrzymane równanie;
6. sprawdź wartości własne;
7. dla każdej wartości rozwiąż układ ((A-\lambda I)v=0).

Macierz (I) jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co (A). Dla macierzy (2\times2):

[
I=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]

Odejmowanie (\lambda I) od (A) oznacza więc odjęcie liczby (\lambda) od elementów leżących na głównej przekątnej.

Wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego. Można go zapisać jako:

[
p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)
]

albo użyć równania:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Obie postacie mają te same pierwiastki, ponieważ różnią się co najwyżej znakiem zależnym od stopnia macierzy.

Wartości własne macierzy 2×2 – wzór

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}.
]

Tworzymy macierz:

[
A-\lambda I=
\begin{bmatrix}
a-\lambda&b\
c&d-\lambda
\end{bmatrix}.
]

Jej wyznacznik wynosi:

[
\det(A-\lambda I)
=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
]

Po uporządkowaniu:

[
\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.
]

Ponieważ:

[
a+d=\operatorname{tr}(A),
]

a:

[
ad-bc=\det(A),
]

równanie charakterystyczne macierzy (2\times2) można również zapisać:

[
\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0.
]

Wartości własne otrzymujemy ze wzoru kwadratowego:

[
\lambda_{1,2}

\frac{\operatorname{tr}(A)\pm
\sqrt{\operatorname{tr}(A)^2-4\det(A)}}{2}.
]

Przykład obliczania wartości własnych macierzy 2×2

Wyznaczmy wartości własne macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
4&1\
2&3
\end{bmatrix}.
]

Krok 1: tworzymy (A-\lambda I)

[
A-\lambda I=
\begin{bmatrix}
4-\lambda&1\
2&3-\lambda
\end{bmatrix}.
]

Krok 2: obliczamy wyznacznik

[
\det(A-\lambda I)

(4-\lambda)(3-\lambda)-2.
]

Rozwijamy iloczyn:

[
(4-\lambda)(3-\lambda)

12-7\lambda+\lambda^2.
]

Zatem:

[
\det(A-\lambda I)

\lambda^2-7\lambda+10.
]

Krok 3: rozwiązujemy równanie charakterystyczne

[
\lambda^2-7\lambda+10=0.
]

Rozkładamy wielomian na czynniki:

[
(\lambda-5)(\lambda-2)=0.
]

Otrzymujemy:

[
\lambda_1=5,
\qquad
\lambda_2=2.
]

Wartości własne macierzy to więc (5) i (2).

Szybkie sprawdzenie

Ślad macierzy wynosi:

[
\operatorname{tr}(A)=4+3=7.
]

Suma wartości własnych:

[
5+2=7.
]

Wyznacznik macierzy:

[
\det(A)=4\cdot3-1\cdot2=10.
]

Iloczyn wartości własnych:

[
5\cdot2=10.
]

Wyniki są zgodne z podstawowymi własnościami wartości własnych.

Jak obliczyć wektory własne?

Po znalezieniu wartości własnej (\lambda) rozwiązujemy równanie:

[
(A-\lambda I)v=0.
]

Jeśli:

[
v=
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix},
]

otrzymujemy jednorodny układ równań. Jego rozwiązania różne od zera tworzą przestrzeń własną odpowiadającą danej wartości.

Wróćmy do macierzy:

[
A=
\begin{bmatrix}
4&1\
2&3
\end{bmatrix}.
]

Wektor własny dla (\lambda=5)

Obliczamy:

[
A-5I=
\begin{bmatrix}
-1&1\
2&-2
\end{bmatrix}.
]

Rozwiązujemy:

[
\begin{bmatrix}
-1&1\
2&-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0\
0
\end{bmatrix}.
]

Pierwsze równanie daje:

[
-x+y=0,
]

czyli:

[
y=x.
]

Możemy wybrać (x=1), a wtedy (y=1). Jednym z wektorów własnych jest:

[
v_1=
\begin{bmatrix}
1\
1
\end{bmatrix}.
]

Każda niezerowa wielokrotność tego wektora również jest wektorem własnym, na przykład:

[
\begin{bmatrix}
2\
2
\end{bmatrix}
\quad\text{lub}\quad
\begin{bmatrix}
-3\
-3
\end{bmatrix}.
]

Wektor własny dla (\lambda=2)

Obliczamy:

[
A-2I=
\begin{bmatrix}
2&1\
2&1
\end{bmatrix}.
]

Układ ma postać:

[
2x+y=0.
]

Stąd:

[
y=-2x.
]

Dla (x=1) otrzymujemy:

[
v_2=
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}.
]

Sprawdzenie:

[
A
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
2\
-4
\end{bmatrix}

2
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}.
]

Wektor został więc poprawnie wyznaczony.

Dlaczego równanie charakterystyczne ma wyznacznik równy zero?

Z definicji:

[
Av=\lambda v.
]

Przenosimy prawą stronę na lewą:

[
Av-\lambda v=0.
]

Ponieważ:

[
\lambda v=\lambda Iv,
]

możemy zapisać:

[
(A-\lambda I)v=0.
]

Szukamy rozwiązania niezerowego. Jednorodny układ:

[
(A-\lambda I)v=0
]

ma rozwiązanie inne niż zerowe tylko wtedy, gdy macierz (A-\lambda I) jest osobliwa. Jej wyznacznik musi więc wynosić zero:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Właśnie z tego warunku wynika równanie charakterystyczne.

Wartości własne macierzy 3×3

Dla macierzy trzeciego stopnia również obliczamy:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Otrzymujemy jednak wielomian stopnia trzeciego. W zależności od budowy macierzy wyznacznik można policzyć:

• regułą Sarrusa;
• rozwinięciem Laplace’a;
• przekształceniami prowadzącymi do postaci trójkątnej;
• przez wykorzystanie widocznej struktury macierzy.

Najłatwiejszy przypadek stanowią macierze diagonalne i trójkątne.

Przykład macierzy trójkątnej

Niech:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1&0\
0&3&4\
0&0&-1
\end{bmatrix}.
]

Macierz (A-\lambda I) ma postać:

[
\begin{bmatrix}
2-\lambda&1&0\
0&3-\lambda&4\
0&0&-1-\lambda
\end{bmatrix}.
]

Jest to macierz trójkątna, dlatego jej wyznacznik jest iloczynem elementów diagonalnych:

[
\det(A-\lambda I)

(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda).
]

Równanie charakterystyczne:

[
(2-\lambda)(3-\lambda)(-1-\lambda)=0
]

daje wartości:

[
\lambda_1=2,
\qquad
\lambda_2=3,
\qquad
\lambda_3=-1.
]

Wartości własne macierzy trójkątnej są więc elementami leżącymi na jej głównej przekątnej.

Czy każda macierz ma wartości własne?

Wartości własne w klasycznym znaczeniu wyznacza się dla macierzy kwadratowych.

Każda macierz kwadratowa stopnia (n) ma (n) wartości własnych w zbiorze liczb zespolonych, jeśli uwzględnimy ich krotności algebraiczne. Nie oznacza to jednak, że wszystkie będą rzeczywiste ani różne.

Macierz rzeczywista może:

• mieć wyłącznie rzeczywiste wartości własne;
• mieć część wartości rzeczywistych, a część zespolonych;
• nie mieć żadnej rzeczywistej wartości własnej;
• mieć kilka razy tę samą wartość własną.

Dla macierzy rzeczywistych nierzeczywiste wartości własne pojawiają się parami sprzężonymi. Dokumentacja NumPy również wskazuje, że wyniki dla rzeczywistej macierzy mogą być rzeczywiste albo występować w zespolonych parach sprzężonych.

Przykład wartości zespolonych

Rozważmy macierz obrotu o (90^\circ):

[
A=
\begin{bmatrix}
0&-1\
1&0
\end{bmatrix}.
]

Równanie charakterystyczne:

[
\det(A-\lambda I)

\begin{vmatrix}
-\lambda&-1\
1&-\lambda
\end{vmatrix}

\lambda^2+1.
]

Rozwiązujemy:

[
\lambda^2+1=0.
]

Otrzymujemy:

[
\lambda_1=i,
\qquad
\lambda_2=-i.
]

Macierz nie ma rzeczywistych wartości własnych. Jest to zgodne z interpretacją geometryczną: obrót o (90^\circ) nie pozostawia na płaszczyźnie żadnego rzeczywistego kierunku bez zmiany.

Krotność algebraiczna i geometryczna

Ta sama wartość własna może pojawić się w równaniu charakterystycznym więcej niż raz.

Krotność algebraiczna

Krotność algebraiczna określa, ile razy dana wartość jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego.

Jeżeli:

[
p_A(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+1),
]

to wartość (2) ma krotność algebraiczną 2, a wartość (-1) — krotność 1.

Krotność geometryczna

Krotność geometryczna jest wymiarem przestrzeni własnej:

[
\ker(A-\lambda I).
]

Informuje, ile liniowo niezależnych wektorów własnych odpowiada danej wartości.

Zawsze zachodzi:

[
1\leq
\text{krotność geometryczna}
\leq
\text{krotność algebraiczna}.
]

Przykład wartości wielokrotnej

Rozważmy:

[
A=
\begin{bmatrix}
2&1\
0&2
\end{bmatrix}.
]

Równanie charakterystyczne ma postać:

[
(2-\lambda)^2=0.
]

Jedyną wartością własną jest:

[
\lambda=2,
]

o krotności algebraicznej 2.

Obliczamy:

[
A-2I=
\begin{bmatrix}
0&1\
0&0
\end{bmatrix}.
]

Układ:

[
(A-2I)v=0
]

prowadzi do warunku:

[
y=0.
]

Wektory własne mają więc postać:

[
v=
\begin{bmatrix}
x\
0
\end{bmatrix},
\qquad x\neq0.
]

Przestrzeń własna jest jednowymiarowa. Krotność geometryczna wynosi 1, mimo że krotność algebraiczna wynosi 2.

Wartości własne a diagonalizacja macierzy

Macierz (A) jest diagonalizowalna, jeżeli można ją zapisać jako:

[
A=SDS^{-1},
]

gdzie:

• (D) jest macierzą diagonalną zawierającą wartości własne;
• kolumnami (S) są odpowiadające im wektory własne;
• (S) jest macierzą odwracalną.

Do diagonalizacji macierzy stopnia (n) potrzeba (n) liniowo niezależnych wektorów własnych.

Jeżeli macierz ma (n) różnych wartości własnych, jest diagonalizowalna. Różne wartości gwarantują bowiem liniową niezależność odpowiadających im wektorów.

Macierz może być diagonalizowalna również wtedy, gdy niektóre wartości się powtarzają. Trzeba jednak sprawdzić, czy łączna liczba liniowo niezależnych wektorów własnych wynosi (n).

Macierz:

[
\begin{bmatrix}
2&1\
0&2
\end{bmatrix}
]

nie jest diagonalizowalna, ponieważ ma tylko jeden liniowo niezależny kierunek własny.

Diagonalizacja jest użyteczna między innymi dlatego, że upraszcza obliczanie potęg macierzy:

[
A^k=SD^kS^{-1}.
]

Potęgowanie macierzy diagonalnej sprowadza się do podnoszenia do potęgi elementów na jej przekątnej. MIT OpenCourseWare wskazuje, że diagonalizacja jest możliwa przy istnieniu pełnego zestawu niezależnych wektorów własnych i znacznie upraszcza obliczenia potęg macierzy.

Macierze symetryczne i wartości własne

Rzeczywista macierz symetryczna spełnia warunek:

[
A^T=A.
]

Macierze symetryczne mają szczególnie korzystne własności:

• wszystkie ich wartości własne są rzeczywiste;
• wektory własne odpowiadające różnym wartościom są ortogonalne;
• istnieje ortonormalna baza złożona z wektorów własnych;
• można je diagonalizować za pomocą macierzy ortogonalnej.

Rozkład spektralny ma wtedy postać:

[
A=QDQ^T,
]

gdzie:

[
Q^{-1}=Q^T.
]

Własności te wynikają z twierdzenia spektralnego dla macierzy symetrycznych.

Macierze symetryczne pojawiają się między innymi jako macierze kowariancji, macierze opisujące formy kwadratowe oraz macierze związane z problemami fizycznymi i inżynierskimi.

Najważniejsze własności wartości własnych

Znajomość podstawowych zależności ułatwia sprawdzanie wyników i rozwiązywanie zadań bez pełnych obliczeń.

Suma wartości własnych jest równa śladowi

Jeżeli wartości własne macierzy (A), liczone z krotnościami algebraicznymi, wynoszą:

[
\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n,
]

to:

[
\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n

\operatorname{tr}(A).
]

Ślad jest sumą elementów na głównej przekątnej:

[
\operatorname{tr}(A)

a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}.
]

Iloczyn wartości własnych jest równy wyznacznikowi

Zachodzi:

[
\lambda_1\lambda_2\ldots\lambda_n

\det(A).
]

Jeżeli jedna z wartości własnych wynosi zero, wyznacznik również jest zerowy.

Zero jako wartość własna

Liczba (0) jest wartością własną wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest osobliwa:

[
0\text{ jest wartością własną}
\iff
\det(A)=0.
]

Taka macierz nie ma klasycznej odwrotności.

Macierze podobne mają te same wartości własne

Jeżeli:

[
B=S^{-1}AS,
]

to (A) i (B) mają ten sam wielomian charakterystyczny i te same wartości własne. Mogą natomiast mieć inne elementy, ponieważ opisują to samo przekształcenie w różnych bazach.

Wartości własne macierzy odwrotnej

Jeżeli (A) jest odwracalna, a (\lambda) jest jej wartością własną, to wartością własną macierzy odwrotnej jest:

[
\frac{1}{\lambda}.
]

Wynika to z równania:

[
Av=\lambda v.
]

Po pomnożeniu przez (A^{-1}):

[
v=\lambda A^{-1}v,
]

czyli:

[
A^{-1}v=\frac{1}{\lambda}v.
]

Wartości własne potęgi macierzy

Jeżeli:

[
Av=\lambda v,
]

to:

[
A^kv=\lambda^kv.
]

Wartościami własnymi macierzy (A^k) są więc odpowiednie potęgi wartości własnych macierzy (A).

Macierz trójkątna

Wartości własne macierzy trójkątnej znajdują się na jej głównej przekątnej. Wynika to z postaci wyznacznika:

[
\det(A-\lambda I),
]

który dla macierzy trójkątnej jest iloczynem elementów diagonalnych.

Relacje między śladem, wyznacznikiem i wartościami własnymi są przydatną kontrolą obliczeń, ale nie wystarczają na ogół do jednoznacznego wyznaczenia całego widma macierzy wyższego stopnia.

Wartości własne a wartości singularne

Wartości własne i wartości singularne nie są tym samym.

Wartości własne:

• dotyczą klasycznie macierzy kwadratowych;
• mogą być ujemne lub zespolone;
• wynikają z równania (Av=\lambda v).

Wartości singularne:

• można wyznaczać również dla macierzy prostokątnych;
• są nieujemne;
• są pierwiastkami z wartości własnych macierzy (A^TA).

Jeżeli wartości singularne macierzy (A) oznaczymy przez (\sigma_i), to:

[
\sigma_i^2
]

są wartościami własnymi macierzy:

[
A^TA.
]

Rozkład SVD działa dla znacznie szerszej klasy macierzy niż diagonalizacja oparta na wektorach własnych.

Do czego służą wartości własne?

Wartości i wektory własne pojawiają się w wielu obszarach matematyki, nauki oraz techniki.

Potęgi macierzy i procesy wieloetapowe

Jeżeli ten sam proces liniowy powtarza się wielokrotnie, jego działanie opisuje macierz:

[
A^k.
]

Po diagonalizacji:

[
A^k=SD^kS^{-1},
]

co pozwala łatwiej analizować zachowanie systemu po wielu krokach.

Dominująca wartość własna, czyli wartość o największym module, często decyduje o długookresowym kierunku i tempie zmian.

Układy równań różniczkowych

Układ:

[
x'(t)=Ax(t)
]

można rozwiązywać za pomocą wartości i wektorów własnych. Poszczególne składowe rozwiązania zawierają czynniki typu:

[
e^{\lambda t}.
]

Znak części rzeczywistej wartości własnej pomaga ocenić, czy rozwiązanie rośnie, zanika, czy zachowuje charakter oscylacyjny. Macierzowe metody rozwiązywania liniowych układów równań różniczkowych są bezpośrednim zastosowaniem analizy wartości własnych.

Analiza stabilności

W systemach dynamicznych wartości własne pomagają określić zachowanie układu w pobliżu punktu równowagi.

W uproszczeniu:

• ujemne części rzeczywiste sprzyjają zanikaniu zaburzeń;
• dodatnia część rzeczywista wskazuje na wzrost zaburzeń;
• wartości zespolone mogą odpowiadać ruchowi oscylacyjnemu.

Dokładna interpretacja zależy od rodzaju modelu: inne kryteria stosuje się w układach ciągłych, a inne w dyskretnych.

Analiza głównych składowych

W PCA wektory własne macierzy kowariancji wskazują kierunki zmienności danych, a wartości własne opisują ilość wariancji wyjaśnianej przez poszczególne kierunki.

Składowe odpowiadające największym wartościom własnym zachowują najwięcej informacji o zróżnicowaniu danych. Dokumentacja scikit-learn wskazuje, że wariancje wyjaśniane przez składowe PCA odpowiadają największym wartościom własnym macierzy kowariancji.

Analiza grafów i sieci

Wartości własne macierzy sąsiedztwa albo laplasjanu grafu pomagają analizować strukturę sieci, wykrywać grupy wierzchołków i badać spójność grafu.

Przykładem jest grupowanie spektralne, w którym kierunki własne macierzy związanej z grafem pomagają wyodrębniać klastry.

Mechanika, fizyka i inżynieria

W analizie drgań wartości własne mogą odpowiadać częstościom naturalnym systemu, a wektory własne — jego postaciom drgań.

Problemy własne występują także w mechanice kwantowej, analizie konstrukcji, teorii sterowania, przetwarzaniu sygnałów i modelowaniu ekonomicznym.

Jak obliczyć wartości własne w Pythonie?

Biblioteka NumPy udostępnia kilka funkcji:

• numpy.linalg.eig — zwraca wartości i prawe wektory własne;
• numpy.linalg.eigvals — zwraca tylko wartości własne;
• numpy.linalg.eigh — jest przeznaczona dla macierzy rzeczywistych symetrycznych i zespolonych hermitowskich;
• numpy.linalg.eigvalsh — zwraca tylko wartości dla macierzy symetrycznych lub hermitowskich.

Przykład:

import numpy as np

A = np.array([
    [4.0, 1.0],
    [2.0, 3.0]
])

wartosci, wektory = np.linalg.eig(A)

print(wartosci)
print(wektory)

Funkcja zwróci wartości (5) i (2), choć ich kolejność nie musi być określona. Wektory znajdują się w kolumnach macierzy wynikowej i są przypisane do wartości o tych samych indeksach. Oficjalna dokumentacja NumPy podkreśla, że eig nie gwarantuje uporządkowania wartości własnych.

Dla macierzy symetrycznej lepiej użyć:

wartosci, wektory = np.linalg.eigh(A)

pod warunkiem że rzeczywiście zachodzi:

[
A^T=A.
]

Funkcje wyspecjalizowane dla macierzy symetrycznych wykorzystują ich szczególne własności i zwracają rzeczywiste wartości własne.

Jak sprawdzić poprawność obliczeń?

Po wyznaczeniu wartości (\lambda) i wektora (v) należy sprawdzić:

[
Av=\lambda v.
]

Obie strony powinny dać ten sam wektor.

Warto również skontrolować:

[
\sum_i\lambda_i=\operatorname{tr}(A)
]

oraz:

[
\prod_i\lambda_i=\det(A).
]

Przy macierzy trójkątnej wartości powinny odpowiadać elementom diagonalnym.

W obliczeniach komputerowych wyniki mogą być zapisane z niewielkim błędem numerycznym. Zamiast dokładnej wartości (2) program może zwrócić na przykład:

[
1{,}9999999999999996.
]

Nie musi to oznaczać błędu metody. Przy kontroli numerycznej porównuje się wartości z określoną tolerancją.

Najczęstsze błędy

Obliczanie wartości własnych macierzy prostokątnej

Klasyczne równanie:

[
\det(A-\lambda I)=0
]

dotyczy macierzy kwadratowych. Macierz prostokątna nie ma klasycznego wielomianu charakterystycznego tego typu.

W takich problemach mogą być potrzebne wartości singularne.

Użycie wektora zerowego

Wektor zerowy nie jest wektorem własnym, nawet jeśli formalnie spełnia równanie dla dowolnej liczby (\lambda).

Pominięcie macierzy jednostkowej

Prawidłowo zapisujemy:

[
A-\lambda I,
]

a nie odejmujemy liczby (\lambda) od wszystkich elementów macierzy. Zmieniają się tylko elementy na głównej przekątnej.

Błąd znaku w wyznaczniku

Przy macierzy (2\times2):

[
\begin{vmatrix}
a-\lambda&b\
c&d-\lambda
\end{vmatrix}
]

wyznacznik wynosi:

[
(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
]

Znak minus przed (bc) ma kluczowe znaczenie.

Zakończenie obliczeń po znalezieniu wartości

Jeżeli zadanie wymaga wartości i wektorów własnych, samo rozwiązanie równania charakterystycznego nie wystarcza. Dla każdego (\lambda) trzeba jeszcze rozwiązać:

[
(A-\lambda I)v=0.
]

Wybór tylko jednego wektora bez opisu przestrzeni

Jeżeli jednym z wektorów własnych jest:

[
\begin{bmatrix}
1\
1
\end{bmatrix},
]

to każdy niezerowy wektor postaci:

[
t
\begin{bmatrix}
1\
1
\end{bmatrix},
\qquad t\neq0,
]

również jest wektorem własnym.

Założenie, że wszystkie wartości muszą być rzeczywiste

Niesymetryczna macierz rzeczywista może mieć zespolone wartości własne. Nie jest to błąd rachunkowy.

Założenie, że powtarzająca się wartość gwarantuje diagonalizację

Wartość o krotności algebraicznej 2 nie musi mieć dwóch liniowo niezależnych wektorów własnych. Trzeba obliczyć wymiar odpowiadającej jej przestrzeni własnej.

Krótkie zadania z odpowiedziami

Zadanie 1

Wyznacz wartości własne:

[
A=
\begin{bmatrix}
3&0\
0&7
\end{bmatrix}.
]

Macierz jest diagonalna, więc:

[
\lambda_1=3,
\qquad
\lambda_2=7.
]

Zadanie 2

Wyznacz wartości własne:

[
A=
\begin{bmatrix}
1&2\
0&4
\end{bmatrix}.
]

Macierz jest trójkątna, dlatego:

[
\lambda_1=1,
\qquad
\lambda_2=4.
]

Zadanie 3

Macierz ma ślad równy 8, a jedną z wartości własnych równą 3. Jaka jest druga wartość?

Dla macierzy (2\times2):

[
\lambda_1+\lambda_2=8.
]

Zatem:

[
\lambda_2=8-3=5.
]

Zadanie 4

Macierz (2\times2) ma wartości własne (4) i (-2). Jaki jest jej wyznacznik?

[
\det(A)=4\cdot(-2)=-8.
]

Zadanie 5

Czy macierz mająca wartość własną (0) jest odwracalna?

Nie. Iloczyn wartości własnych jest równy wyznacznikowi, więc:

[
\det(A)=0.
]

Macierz jest osobliwa.

Wartości własne macierzy – najważniejsze informacje

Wartości własne macierzy to liczby (\lambda), dla których istnieje niezerowy wektor (v) spełniający równanie:

[
Av=\lambda v.
]

Aby je obliczyć, należy rozwiązać równanie charakterystyczne:

[
\det(A-\lambda I)=0.
]

Dla każdej otrzymanej wartości wektory własne wyznacza się z układu:

[
(A-\lambda I)v=0.
]

Suma wartości własnych jest równa śladowi macierzy, a ich iloczyn — jej wyznacznikowi. Wartość własna równa zero oznacza, że macierz nie ma odwrotności. Wartości i wektory własne są podstawą diagonalizacji oraz ważnym narzędziem w analizie danych, układach dynamicznych, równaniach różniczkowych, fizyce i inżynierii.

FAQ

Co to są wartości własne macierzy?

Wartość własna to liczba (\lambda), dla której istnieje niezerowy wektor (v) spełniający równanie (Av=\lambda v). Oznacza to, że macierz nie zmienia kierunku tego wektora, lecz jedynie jego długość lub zwrot. Wektor (v) jest nazywany wektorem własnym odpowiadającym wartości (\lambda).

Jak obliczyć wartości własne macierzy?

Należy utworzyć macierz (A-\lambda I), obliczyć jej wyznacznik i rozwiązać równanie (\det(A-\lambda I)=0). Otrzymane pierwiastki są wartościami własnymi. Aby znaleźć wektory własne, dla każdej wartości (\lambda) rozwiązuje się układ jednorodny ((A-\lambda I)v=0).

Czy wartość własna może być równa zero?

Tak. Zero jest wartością własną wtedy i tylko wtedy, gdy macierz jest osobliwa, czyli ma wyznacznik równy zero. Oznacza to, że istnieje niezerowy wektor przekształcany przez macierz w wektor zerowy. Macierz mająca zerową wartość własną nie posiada klasycznej macierzy odwrotnej.

Czy wartości własne zawsze są rzeczywiste?

Nie. Rzeczywista macierz niesymetryczna może mieć wartości zespolone. Jeżeli współczynniki macierzy są rzeczywiste, nierzeczywiste wartości występują parami sprzężonymi. Wszystkie wartości własne rzeczywistej macierzy symetrycznej są natomiast rzeczywiste, a jej wektory własne można wybrać jako ortonormalne.

Jaka jest różnica między wartością a wektorem własnym?

Wartość własna (\lambda) jest liczbą określającą skalę zmiany. Wektor własny (v) wskazuje kierunek, który podczas działania macierzy pozostaje zachowany. Oba elementy są powiązane równaniem (Av=\lambda v). Jednej wartości może odpowiadać nieskończenie wiele wektorów będących niezerowymi wielokrotnościami.

Jak sprawdzić obliczone wartości własne?

Można sprawdzić, czy ich suma jest równa śladowi macierzy, a iloczyn wyznacznikowi. Dla każdego znalezionego wektora należy też zweryfikować równanie (Av=\lambda v). W macierzy trójkątnej wartości własne powinny być równe elementom znajdującym się na głównej przekątnej.

Do czego wykorzystuje się wartości własne?

Wartości własne służą między innymi do diagonalizacji i obliczania potęg macierzy, badania stabilności układów dynamicznych, rozwiązywania liniowych równań różniczkowych oraz analizy drgań. Są również wykorzystywane w analizie głównych składowych, analizie grafów, fizyce, inżynierii i przetwarzaniu danych.