Wartości własne macierzy – co to jest i jak je obliczyć krok po kroku?
Wartości własne macierzy to liczby opisujące, jak dane przekształcenie liniowe działa w swoich szczególnych kierunkach. Jeżeli dla macierzy (A) istnieje niezerowy wektor (v), dla którego:
[
Av=\lambda v,
]
to liczbę (\lambda) nazywamy wartością własną macierzy, a (v) odpowiadającym jej wektorem własnym. Macierz nie zmienia wtedy kierunku wektora (v), lecz jedynie go wydłuża, skraca, odwraca albo zeruje.
Aby obliczyć wartości własne, rozwiązuje się równanie charakterystyczne:
[
\det(A-\lambda I)=0.
]
Jego rozwiązaniami są poszukiwane wartości (\lambda). Następnie dla każdej z nich rozwiązuje się układ:
[
(A-\lambda I)v=0,
]
aby znaleźć odpowiadające wektory własne. MIT OpenCourseWare przedstawia wartości i wektory własne właśnie jako sposób opisania sytuacji, w której iloczyn (Av) pozostaje w kierunku wektora (v).
Co to są wartości własne macierzy?
Niech (A) będzie macierzą kwadratową stopnia (n). Liczba (\lambda) jest wartością własną macierzy (A), jeżeli istnieje niezerowy wektor (v), który spełnia równanie:
[
Av=\lambda v.
]
Wektor (v) nazywa się wtedy wektorem własnym odpowiadającym wartości (\lambda).
Najważniejsze jest to, że po pomnożeniu przez macierz wektor własny nie zostaje skierowany w całkowicie inną stronę. Wynik nadal leży na tej samej prostej co wektor początkowy.
Wartość własna wskazuje, co dzieje się z długością i zwrotem wektora:
- gdy (\lambda>1), wektor zostaje wydłużony;
- gdy (0<\lambda<1), zostaje skrócony;
- gdy (\lambda<0), dodatkowo zmienia zwrot;
- gdy (\lambda=1), pozostaje bez zmiany;
- gdy (\lambda=0), zostaje przekształcony w wektor zerowy.
Przykładowo, jeśli:
[
Av=3v,
]
to (v) jest wektorem własnym, a (3) wartością własną. Macierz trzykrotnie wydłuża ten wektor, nie zmieniając jego kierunku.
Dlaczego wektor własny nie może być zerowy?
Wektor zerowy spełnia równanie:
[
A0=\lambda0
]
dla każdej macierzy i dowolnej liczby (\lambda). Nie dostarcza więc żadnej informacji o działaniu macierzy.
Z tego powodu w definicji wyraźnie wymaga się:
[
v\neq0.
]
Wartość własna musi być powiązana z co najmniej jednym niezerowym wektorem.
Geometryczne znaczenie wartości własnych
Macierz można traktować jako opis przekształcenia przestrzeni. Może ona obracać, rozciągać, ściskać, odbijać albo spłaszczać wektory.
Większość kierunków po takim przekształceniu zmienia swoje położenie. Kierunki wyznaczane przez wektory własne są szczególne, ponieważ pozostają niezmienione — z dokładnością do długości i zwrotu.
Rozważmy macierz:
[
A=
\begin{bmatrix}
2&0\
0&3
\end{bmatrix}.
]
Dla wektora:
[
v_1=
\begin{bmatrix}
1\
0
\end{bmatrix}
]
otrzymujemy:
[
Av_1=
\begin{bmatrix}
2\
0
\end{bmatrix}
=2v_1.
]
Wartością własną jest więc (2).
Dla wektora:
[
v_2=
\begin{bmatrix}
0\
1
\end{bmatrix}
]
mamy:
[
Av_2=
\begin{bmatrix}
0\
3
\end{bmatrix}
=3v_2.
]
Druga wartość własna wynosi (3).
Macierz dwukrotnie rozciąga przestrzeń w kierunku osi poziomej i trzykrotnie w kierunku osi pionowej. Wektory leżące na tych osiach są jej wektorami własnymi.
Jak obliczyć wartości własne macierzy?
Podstawowa procedura składa się z kilku kroków:
- sprawdź, czy macierz jest kwadratowa;
- utwórz macierz (A-\lambda I);
- oblicz jej wyznacznik;
- przyrównaj wyznacznik do zera;
- rozwiąż otrzymane równanie;
- sprawdź wartości własne;
- dla każdej wartości rozwiąż układ ((A-\lambda I)v=0).
Macierz (I) jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co (A). Dla macierzy (2\times2):
[
I=
\begin{bmatrix}
1&0\
0&1
\end{bmatrix}.
]
Odejmowanie (\lambda I) od (A) oznacza więc odjęcie liczby (\lambda) od elementów leżących na głównej przekątnej.
Wartości własne są pierwiastkami wielomianu charakterystycznego. Można go zapisać jako:
[
p_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)
]
albo użyć równania:
[
\det(A-\lambda I)=0.
]
Obie postacie mają te same pierwiastki, ponieważ różnią się co najwyżej znakiem zależnym od stopnia macierzy.
Wartości własne macierzy 2×2 – wzór
Niech:
[
A=
\begin{bmatrix}
a&b\
c&d
\end{bmatrix}.
]
Tworzymy macierz:
[
A-\lambda I=
\begin{bmatrix}
a-\lambda&b\
c&d-\lambda
\end{bmatrix}.
]
Jej wyznacznik wynosi:
[
\det(A-\lambda I)
=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
]
Po uporządkowaniu:
[
\lambda^2-(a+d)\lambda+(ad-bc)=0.
]
Ponieważ:
[
a+d=\operatorname{tr}(A),
]
a:
[
ad-bc=\det(A),
]
równanie charakterystyczne macierzy (2\times2) można również zapisać:
[
\lambda^2-\operatorname{tr}(A)\lambda+\det(A)=0.
]
Wartości własne otrzymujemy ze wzoru kwadratowego:
[
\lambda_{1,2}
\frac{\operatorname{tr}(A)\pm
\sqrt{\operatorname{tr}(A)^2-4\det(A)}}{2}.
]
Przykład obliczania wartości własnych macierzy 2×2
Wyznaczmy wartości własne macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
4&1\
2&3
\end{bmatrix}.
]
Krok 1: tworzymy (A-\lambda I)
[
A-\lambda I=
\begin{bmatrix}
4-\lambda&1\
2&3-\lambda
\end{bmatrix}.
]
Krok 2: obliczamy wyznacznik
[
\det(A-\lambda I)
(4-\lambda)(3-\lambda)-2.
]
Rozwijamy iloczyn:
[
(4-\lambda)(3-\lambda)
12-7\lambda+\lambda^2.
]
Zatem:
[
\det(A-\lambda I)
\lambda^2-7\lambda+10.
]
Krok 3: rozwiązujemy równanie charakterystyczne
[
\lambda^2-7\lambda+10=0.
]
Rozkładamy wielomian na czynniki:
[
(\lambda-5)(\lambda-2)=0.
]
Otrzymujemy:
[
\lambda_1=5,
\qquad
\lambda_2=2.
]
Wartości własne macierzy to więc (5) i (2).
Szybkie sprawdzenie
Ślad macierzy wynosi:
[
\operatorname{tr}(A)=4+3=7.
]
Suma wartości własnych:
[
5+2=7.
]
Wyznacznik macierzy:
[
\det(A)=4\cdot3-1\cdot2=10.
]
Iloczyn wartości własnych:
[
5\cdot2=10.
]
Wyniki są zgodne z podstawowymi własnościami wartości własnych.
Jak obliczyć wektory własne?
Po znalezieniu wartości własnej (\lambda) rozwiązujemy równanie:
[
(A-\lambda I)v=0.
]
Jeśli:
[
v=
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix},
]
otrzymujemy jednorodny układ równań. Jego rozwiązania różne od zera tworzą przestrzeń własną odpowiadającą danej wartości.
Wróćmy do macierzy:
[
A=
\begin{bmatrix}
4&1\
2&3
\end{bmatrix}.
]
Wektor własny dla (\lambda=5)
Obliczamy:
[
A-5I=
\begin{bmatrix}
-1&1\
2&-2
\end{bmatrix}.
]
Rozwiązujemy:
[
\begin{bmatrix}
-1&1\
2&-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\
y
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0\
0
\end{bmatrix}.
]
Pierwsze równanie daje:
[
-x+y=0,
]
czyli:
[
y=x.
]
Możemy wybrać (x=1), a wtedy (y=1). Jednym z wektorów własnych jest:
[
v_1=
\begin{bmatrix}
1\
1
\end{bmatrix}.
]
Każda niezerowa wielokrotność tego wektora również jest wektorem własnym, na przykład:
[
\begin{bmatrix}
2\
2
\end{bmatrix}
\quad\text{lub}\quad
\begin{bmatrix}
-3\
-3
\end{bmatrix}.
]
Wektor własny dla (\lambda=2)
Obliczamy:
[
A-2I=
\begin{bmatrix}
2&1\
2&1
\end{bmatrix}.
]
Układ ma postać:
[
2x+y=0.
]
Stąd:
[
y=-2x.
]
Dla (x=1) otrzymujemy:
[
v_2=
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}.
]
Sprawdzenie:
[
A
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2\
-4
\end{bmatrix}
2
\begin{bmatrix}
1\
-2
\end{bmatrix}.
]
Wektor został więc poprawnie wyznaczony.
Dlaczego równanie charakterystyczne ma wyznacznik równy zero?
Z definicji:
[
Av=\lambda v.
]
Przenosimy prawą stronę na lewą:
[
Av-\lambda v=0.
]
Ponieważ:
[
\lambda v=\lambda Iv,
]
możemy zapisać:
[
(A-\lambda I)v=0.
]
Szukamy rozwiązania niezerowego. Jednorodny układ:
[
(A-\lambda I)v=0
]
ma rozwiązanie inne niż zerowe tylko wtedy, gdy macierz (A-\lambda I) jest osobliwa. Jej wyznacznik musi więc wynosić zero:
[
\det(A-\lambda I)=0.
]
Właśnie z tego warunku wynika równanie charakterystyczne.
Wartości własne macierzy 3×3
Dla macierzy trzeciego stopnia również obliczamy:
[
\det(A-\lambda I)=0.
]
Otrzymujemy jednak wielomian stopnia trzeciego. W zależności od budowy macierzy wyznacznik można policzyć:
- regułą Sarrusa;
- rozwinięciem Laplace’a;
- przekształceniami prowadzącymi do postaci trójkątnej;
- przez wykorzystanie widocznej struktury macierzy.
Najłatwiejszy przypadek stanowią macierze diagonalne i trójkątne.
Przykład macierzy trójkątnej
Niech:
[
A=
\begin{bmatrix}
2&1&0\
0&3&4\
0&0&-1
\end{bmatrix}.
]
Macierz (A-\lambda I) ma postać:
[
\begin{bmatrix}
2-\lambda&1&0\
0&3-\lambda&4\
0&0&-1-\lambda
\end{bmatrix}.
]
Jest to macierz trójkątna, dlatego jej wyznacznik jest iloczynem elementów diagonalnych: